CIC滤波器传递函数的存在性问题

        CIC滤波器，也即是通常所说的级联积分梳状滤波器，是多速率采样信号处理中最常用的滤波器之一，本文要讨论的问题是，CIC滤波器存在传递函数吗？

        在回答这个问题之前，我们先来回顾一下CIC滤波器的基本概念。图1(a)给出了一个抽样因子为R的通用2阶CIC抽样滤波器框图。由图中可以看出，两个级联积分器接在两个级联梳状滤波器之后。图1(b)给出了抽样因子为R的CIC滤波器的标准框图。图1(b)中的积分器放在抽样之后，这样可以降低后续滤波器的数据量。无论上述哪种实现方式，若给定输入x(n)，其输出均为y(nR).有的文献中把图1(a)的实现方式称为CIC滤波器，而把图1(b)中的实现方式称为Hogenauer滤波器，以表彰科学家E. Hogenauer对CIC滤波器的贡献。

                    

                                                         Fig. 1: CIC滤波器的不同实现

        对CIC滤波器的基本概念有了了解之后，我们再来看最开始提到的问题：CIC滤波器有传递函数吗？

        经典数字信号处理的理论基础之一是线性时不变(LTI)系统。对于任何一个LTI系统，我们通常都可以用单位冲激响应、频率响应或者传递函数来描述的。粗略地想，CIC滤波器也可以看作一个系统，应该是有传递函数的。而且，在很多的数字信号处理教科书中，图1所示CIC滤波器的传递函数通常表示为：

                    

        但有的学者认为CIC滤波器是不存在传递函数的。最主要的理由是CIC滤波器并不是一个LTI系统，这点很容易从输入输出关系得到证明，因此，也就不能再用LTI系统传递函数的概念进行分析。

        对于公式(1)所示的函数，可以用来确定CIC滤波器的通带和阻带特性。但不能像LTI系统那样，根据输入信号的频率分量，乘上滤波器响应的响应，得到输出的频率分量。因为频率不变性是LTI系统所特有的。对CIC滤波器来说，若给定输入信号的频率分量，要想得到其输出的频率分量，必须考虑抽样过程中的频率折叠。

        根据这种理解，因此也有学者认为多速率系统均不存在传递函数。

PS：本文主要根据Lyons的文章整理而来，原文链接为：

http://www.dsprelated.com/showarticle/143.php