noip 志愿者招募 （费用流/抽象建图）
题目描述 Description
申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的 主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志 愿者。经过估算，这个项目需要 N 天才能完成，其中第 i 天至少需要 Ai个人。 布布通过了解得知，一共有 M 类志愿者可以招募。其中第 i 类可以从第 Si天工 作到第 Ti 天，招募费用是每人 Ci元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的 工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长！于是 布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。
输入描述 Input Description
输入文件 employee.in 的第一行包含两个整数 N, M，表示完成项目的天数和 可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含 N 个非负整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的 M 行中每行包含三个整数 Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了方便起 见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。
输出描述 Output Description
输入文件 employee.out 中仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。
样例输入 Sample Input
3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2
样例输出 Sample Output
14
数据范围及提示 Data Size & Hint
【样例说明】
招募 3 名第一类志愿者和 4 名第三类志愿者。
30%的数据中，1 ≤ N, M ≤ 10，1 ≤ Ai ≤ 10；
100%的数据中，1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均不超过 231-1。
这道题正确的解法是构造网络，求网络最小费用最大流，但是模型隐藏得较深，不易想到。构造网络是该题的关键，以下面一个例子说明构图的方法和解释。
例如一共需要4天，四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者，如下表所示：
| 种类 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 时间 | 1-2 | 1-1 | 2-3 | 3-3 | 3-4 |
| 费用 | 3 | 4 | 3 | 5 | 6 |
设雇佣第i类志愿者的人数为X[i]，每个志愿者的费用为V[i]，第j天雇佣的人数为P[j]，则每天的雇佣人数应满足一个不等式，如上表所述，可以列出
P[1] = X[1] + X[2] >= 4
P[2] = X[1] + X[3] >= 2
P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5
P[4] = X[5] >= 3
对于第i个不等式，添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ，可以使其变为等式
P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4
P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2
P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5
P[4] = X[5] - Y[4] = 3
在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0，每次用下边的式子减去上边的式子，得出
① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4
② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2
③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3
④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2
⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3
观察发现，每个变量都在两个式子中出现了，而且一次为正，一次为负。所有等式右边和为0。接下来，根据上面五个等式构图。
- 每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。
- 如果一个等式右边为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果一个等式右边为负整数c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。
- 如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i]，在第k个等式中出现为-X[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为V[i]的有向边。
- 如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i]，在第k个等式中出现为-Y[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为0的有向边。
构图以后，求从源点S到汇点T的最小费用最大流，费用值就是结果。
根据上面的例子可以构造出如下网络，红色的边为每个变量X代表的边，蓝色的边为每个变量Y代表的边，边的容量和权值标已经标出(蓝色没有标记，因为都是容量∞，权值0)。
在这个图中求最小费用最大流，流量网络如下图，每个红色边的流量就是对应的变量X的值。
所以，答案为43+23+3*6=36。
上面的方法很神奇得求出了结果，思考为什么这样构图。我们将最后的五个等式进一步变形，得出以下结果
① - X[1] - X[2] + Y[1] + 4 = 0
② - X[3] + X[2] + Y[2] - Y[1] - 2 = 0
③ - X[4] - X[5] + X[1] + Y[3] - Y[2] + 3 = 0
④ X[3] + X[4] - Y[3] + Y[4] - 2 = 0
⑤ X[5] - Y[4] - 3 = 0
可以发现，每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减，右边都为0，恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的流量，负的变量相当于流出该顶点的流量，而正常数可以看作来自附加源点的流量，负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络，求出从附加源到附加汇的网络最大流，即可满足所有等式。而我们还要求最小，所以要在X变量相对应的边上加上权值，然后求最小费用最大流。
我写的是朴素的SPFA算法求增广路的最小费用流算法，可以在题目时限内通过所有测试点。
在NOI的现场上，该题得分的平均分12.56，只有高逸涵大牛拿到了满分。不能不说这是一道难题，难就难在抽象出问题的数学模型，设计有效的算法。而信息学竞赛正朝着这个方向发展，数学建模将是解决问题的共同关键步骤。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<queue>
#include <iomanip>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std ;
const int N=1003 ;
const int M=10002*4 ;
const int inf=1<<30 ;
struct node
{
int u,v,c,cost,next;
}edge[M];
int head[N],vist[N],dist[N],pp[N],pre[N],a[N];
int top ;
void add(int u, int v ,int c,int cost)
{
edge[top].u=u;
edge[top].v=v;
edge[top].c=c;
edge[top].cost=cost;
edge[top].next=head[u];
head[u]=top++;
edge[top].u=v;
edge[top].v=u;
edge[top].c=0;
edge[top].cost=-cost;
edge[top].next=head[v];
head[v]=top++;
}
int SPFA(int s,int t)
{
int u ,v ;
memset(pre,-1,sizeof(pre));
memset(vist,0,sizeof(vist));
for(int i = 0 ; i <= t ; i++) dist[i]=inf;
vist[s]=1; dist[s]=0;pre[s]=s;
queue<int>q;
q.push(s);
while(!q.empty())
{
u=q.front();
q.pop();
vist[u]=0;
for(int i = head[u] ; i!=-1 ; i=edge[i].next)
{
v=edge[i].v;
if(edge[i].c && dist[v] > dist[u]+edge[i].cost)
{
dist[v] = dist[u]+edge[i].cost;
pp[v]=i;
pre[v]=u;
if(!vist[v])
{
vist[v]=1;
q.push(v);
}
}
}
}
if(dist[t]==inf) return 0;
return 1;
}
int MFMC(int s,int t)
{
int minflow,mincost=0;
while(SPFA(s,t))
{
minflow=inf;
for(int i = t ; i!=s ; i=pre[i])
minflow=min(minflow,edge[pp[i]].c);
for(int i = t ; i!=s ; i=pre[i])
{
edge[pp[i]].c -= minflow ;
edge[pp[i]^1].c += minflow ;
}
mincost += dist[t]*minflow ;
}
return mincost ;
}
int main()
{
int n,m,x,y,z;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
top=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
int s=0,t=n+2 ;
for(int i = 1 ; i <= n; i++) //每天至少要都是人
scanf("%d",&a[i]) ;
for(int i = 1 ; i <= m ; i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); //i类人工作时间为x~y,费用z
add(x,y+1,inf,z); //对x[i] -> -x[i]建边，对应的节点是啊 x->y+1 ;可看不等式知道
}
for(int i = 1 ; i <= n+1 ; i++) //除源点汇点，有n+1个点，（即n+1个不等式）
{
if(a[i]>a[i-1]) //非0 ，不等式中的P[i] - P[j] ，相当于 a[i]-a[j]
add(s,i,a[i]-a[i-1],0);
else
add(i,t,a[i-1]-a[i],0) ;
}
for(int i = 2 ; i <= n+1 ; i++) //对Y[i] -> -Y[i]建边，不等式有规律
add(i,i-1,inf,0);
int ans=MFMC(s,t);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}