题意:
有n天和m的初始金钱,用来购买AB两种纪念券;
n天里每天都有AB的价格,每天可以进行这样的操作;
1.卖出手中x%的纪念券(AB分别都卖出x%);
2.用x的金钱买入纪念券,买入AB券的比例在第i天为Rate i;
求n天过去之后所获得的最大收益;
金钱和券数均为实数;
n<=100 000;
题解:
首先,虽然题中的买入和卖出都是任意数量的,但是同样的纪念券,分几天卖出得到的收 益,一定小于等于直接在一天卖出的收益;
同样,分几天买入也是不如一天花所有钱买入的;
令:
显然X,Y都可以由f[i]得来;f[i]为第i天的最大收益;
X[i]为第i天将所有钱数都买入得到的A券数;
Y[i]为第i天将所有钱数都买入得到的B券数;
那么转移方程就是:
f[i]=max(f[i-1],A[i] * X[j] + B[i] * Y[j]);(1<=j< i);
这样转移是O(n^2)的,所以要对后面枚举j的部分优化;
将f[i]=A[i] * X[j] + B[i] * Y[j]整理;
得到Y[i]=(-A[i]/B[i]) * X[i] + f[i]/B[i];
这是一个直线方程的形式,而对于固定的i,直线斜率不变,而要最大化截距;
倘若将所有的[1,i-1]的点计算出(x,y)放在坐标系上;
找到最优值相当于在这个上凸包上找到某个点,使截距最大;
那么这个点左面的斜率一定大于当前i的斜率,右面的斜率一定小于当前i的斜率;
所以这其实就是一个斜率优化的形式;
但是这个-A[i]/B[i]不单调,所以不能O(n)的维护队列处理凸包;通常我们做斜率优化都是找到不符合要求的点直接干掉就好的;
因为下一个i的斜率不是递增就是递减;
10^5的复杂度是支持O(nlogn)的,所以为了维护凸包可以选择一些数据结构;
那么就维护一个Splay,每个结点都在凸包上,中序遍历就是按x递增同时也按斜率递减的序列;
如果把Splay看做logn,那么每个点最多进出凸包一次,二分查询斜率共n次;
复杂度O(nlogn)还是听起来很好的;
但是写起来一点也不好玩!
总之维护凸包时对Splay中点较少时的讨论很烦。。。
照着对拍调数据改改也就过了;
代码3k+,时间960ms,这个跑的感觉也是挺快的了;
下一篇写写更神的CDQ分治,毕竟数据结构对代码能力要求颇高;
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我被D了。。。斜率打成了shope,恩应该是slope无误;
代码:
#include<math.h> #include<stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> #define N 110000 #define which(x) (tr[tr[x].fa].ch[1]==x) const double INF = 1e100; const double EPS = 1e-8; using namespace std; struct Point { double x, y, s1, s2; int fa, ch[2]; }tr[N]; int root, tot; double f[N], A[N], B[N], R[N], X[N], Y[N]; void get_slope(int a, int b) { if (!a) tr[b].s1 = INF; else if (!b) tr[a].s2 = -INF; else { if (fabs(tr[a].x - tr[b].x)<EPS) tr[a].s2 = tr[b].s1 = (tr[a].y<tr[b].y ? INF : -INF); else tr[a].s2 = tr[b].s1 = (tr[a].y - tr[b].y) / (tr[a].x - tr[b].x); } } void Rotate(int x) { int f = tr[x].fa; if (!f) return; bool k = which(x); tr[f].ch[k] = tr[x].ch[!k]; tr[x].ch[!k] = f; tr[tr[f].fa].ch[which(f)] = x; tr[x].fa = tr[f].fa; tr[tr[f].ch[k]].fa = f; tr[f].fa = x; } void Splay(int x, int g) { if (!x) return; while (tr[x].fa != g) { int f = tr[x].fa; if (tr[f].fa == g) { Rotate(x); break; } if (which(x) ^ which(f)) Rotate(x); else Rotate(f); Rotate(x); } if (!g) root = x; } int Pre(int x) { if (!x) return 0; int p = tr[x].ch[0]; if (!p) return 0; while (tr[p].ch[1]) p = tr[p].ch[1]; return p; } int Sub(int x) { if (!x) return 0; int p = tr[x].ch[1]; if (!p) return 0; while (tr[p].ch[0]) p = tr[p].ch[0]; return p; } int find(int p, double x) { if (!p) return 0; if (x<tr[p].x) return find(tr[p].ch[0], x); else { int t = find(tr[p].ch[1], x); return tr[p].x>tr[t].x ? p : t; } } void Insert(double X, double Y, int no) { int x = find(root, X), y = 0; if (!x) { x = root; while (tr[x].ch[0]) x = tr[x].ch[0]; Splay(x, 0); y = x, x = 0; } else { Splay(x, 0); Splay(y = Sub(x), x); } tr[no].x = X, tr[no].y = Y; if (y) tr[no].fa = y, tr[y].ch[0] = no; else tr[no].fa = x, tr[x].ch[1] = no; get_slope(x, no); get_slope(no, y); if (tr[no].s1 <= tr[no].s2) { tr[y].ch[0] = 0; get_slope(x, y); return; } Rotate(no), Rotate(no); root = no; x = tr[no].ch[0]; while (tr[x].s1 <= tr[x].s2&&x) { y = Pre(x); Splay(y, x); tr[y].fa = no; tr[no].ch[0] = y; get_slope(y, no); x = y; } x = tr[no].ch[1]; while (tr[x].s1 <= tr[x].s2&&x) { y = Sub(x); Splay(y, x); tr[y].fa = no; tr[no].ch[1] = y; get_slope(no, y); x = y; } } int query(double S) { int p = root; while (S>tr[p].s1 || S<tr[p].s2) { if (S>tr[p].s1) p = tr[p].ch[0]; else p = tr[p].ch[1]; } return p; } int main() { int n, i, j, k; scanf("%d%lf", &n, &f[1]); for (i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf%lf", A + i, B + i, R + i); tr[0].x = tr[0].y = -INF; Y[1] = f[1] / (A[1] * R[1] + B[1]); X[1] = R[1] * Y[1]; Insert(X[1], Y[1], 1); for (i = 2; i <= n; i++) { j = query(-A[i] / B[i]); f[i] = max(f[i - 1], A[i] * X[j] + B[i] * Y[j]); Y[i] = f[i] / (A[i] * R[i] + B[i]); X[i] = R[i] * Y[i]; Insert(X[i], Y[i], i); } printf("%.3lf", f[n]); return 0; }