插入排序：二路插入

        在上一篇博客中：插入排序：直接插入、交换插入、折半插入。提到了三种插入排序的具体实现。不过仍有改进的地方。例如序列 2 1 3，当把1往前插入时，由于1<2，则应当把1插入到2的前面。在上述三种插入排序方法的实现中，都是把1、2位置交换。于是，我们想有没有可能不进行交换，因为交换总是相当耗时的。但是1必须要排到2的前面，可2的前面没有位置了啊？嗯，初看是这样的。试想这是一个循环的数组呢？这就是二路插入最核心的想法。

思路：

1. 构建一相同大小的循环数组b，把原数组的元素依次插入，最后按合适次序赋值回原数组。如何实现循环呢？有办法的。可参考约瑟夫问题的数组解法中是如何实现的。
2. 把原数组的第一个值a[0]复制过去，b[0]=a[0]，作为循环数组的第一个数。当然，也可选择其它的数作为第一个数。
3. 若a[i]<b[first]，则变化first：first=(first-1+n)%n，b[first]=a[i]
4. 若a[i]>=b[last]，则变化last：last++(注意这里没必要这样写：last=(last+1)%n)，b[last]=a[i]
5. 若b[first]<=a[i]<b[last]，则选择适当的策略，插入下图中的一路位置。
6. 这里的二路是什么意思？没有看到哪里解释过，我的理解是，看下图：

上图中，first指向已拍好序列的第一个，last指向已排好序列的最后一个。如果按从小到大排序，first指向最小，last指向最大的。如果某一个数据a，且b[first]<=a<b[last]，则a应插入图中一路所示的位置，其它的应插入二路。也就是说，可以插入的位置总的分为两路-二路插入。

显然，一路位置的元素是有序的。那么在往一路插入时，可直接插入，也可二分插入，先看下直接插入时的代码：

代码一：

<span style="font-size:25px;">
void InsertSort1(int a[], int n)    //二路插入
{
	int first, last;
	first = last = 0;
	int *b = new int[n];
	b[0] = a[0];
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		if (a[i] < b[first])
		{
			first = (first - 1 + n) % n;   //first的变化必须这样写
			b[first] = a[i];
		}
		else if (a[i] >= b[last])
		{
			last++;     //有的人这样写：last=(last+1)%n，其实没必要，last是不会超过n-1的。
			b[last] = a[i];
		}
		else
		{
			int k;
			for (k = last+1; a[i] < b[(k-1+n)%n]; k=(k-1+n)%n)     // 使用直接插入
				b[k] = b[(k - 1 + n)%n];
			b[k] = a[i];
			last++;
		}
	}
	for (int i = 0; i < n; i++)
		a[i] = b[(i + first) % n];
	delete[]b;
}
</span>

显然，在对一路二分插入时，更高效，代码如下：

代码二：在二分查找时，我们选择左闭右开的区间。 若是无法理解折半查找的过程，强烈推荐看下： 插入排序：直接插入，交换插入，折半插入

<span style="font-size:25px;">
void InsertSort2(int a[], int n)    //二路插入
{
	int first, last;
	first = last = 0;
	int *b = new int[n];
	b[0] = a[0];
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		if (a[i] < b[first])
		{
			first = (first - 1 + n) % n;
			b[first] = a[i];
		}
		else if (a[i]>=b[last])
		{
			last++;
			b[last] = a[i];
		}
		else
		{
			int low, high, mid, d;
			low = first, high = last;
			while (low != high)      //折半查找
			{
				d = (high-low+n) % n;    //元素个数
				mid = (low + d / 2) % n;    //中间位置
				if (a[i] < b[mid])
					high = mid;
				else
					low = (mid + 1) % n;
			}
			for (int k = last + 1; k != low; k = (k - 1 + n) % n)  //移动元素
				b[k] = b[(k - 1 + n) % n];
			b[low] = a[i];
			last++;
		}
	}
	for (int i = 0; i < n; i++)
		a[i] = b[(i + first) % n];
	delete[]b;
}
</span>

update: 2014-6-2 0:11

下面给出一测试代码，详细观察数组b的变化情况，

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
void printArray(int a[], int n)   //打印数组 
{
	for (int i = 0; i<n; i++)
		printf("%-4d", a[i]);
	printf("\n");
}
void InsertSort2(int a[], int n)    //二路插入
{
	int first, last;
	first = last = 0;
	int *b = new int[n];
	memset(b,0,n*sizeof(int));   //数组b的内存空间清零
	b[0] = a[0];
	printf("数组下标：\n");
	for (int i = 0; i < n; i++)
		printf("%-4d",i);
	printf("\n");
	printf("数组b的变化\n");
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		printArray(b, n);
		if (a[i] < b[first])
		{
			first = (first - 1 + n) % n;
			b[first] = a[i];
		}
		else if (a[i]>=b[last])
		{
			last++;
			b[last] = a[i];
		}
		else
		{
			int low, high, mid, d;
			low = first, high = last;
			while (low != high)      //折半查找
			{
				d = (high-low+n) % n;    //元素个数
				mid = (low + d / 2) % n;    //中间位置
				if (a[i] < b[mid])
					high = mid;
				else
					low = (mid + 1) % n;
			}
			for (int k = last + 1; k != low; k = (k - 1 + n) % n)
				b[k] = b[(k - 1 + n) % n];
			b[low] = a[i];
			last++;
		}
	}
	printArray(b,n);
	for (int i = 0; i < n; i++)
		a[i] = b[(i + first) % n];
	delete[]b;
}
int main()
{
	const int N = 6;
	int a[N];
	srand((unsigned)time(NULL));
	printf("原数组a\n");
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		a[i] = rand() % 100;
		printf("%-4d",a[i]);
	}
	printf("\n");
	InsertSort2(a, N);
	printf("经排序后的数组a\n");
	printArray(a, N);
	printf("\n");
	system("pause");
	return 0;
}

某一次的运行结果是这样的：

小结：

1. 这里我们使用的区间是左闭右开的，这是为了方便后面循环的终止。
2. 关于first和last的移动，大家画下图，很容易明白。从上面的运行结果可以看出，last是从0开始递增的，且不会超过n-1，这一点是显然的。
3. 在往二路插入时，是不需要移动元素的，这就是二路插入相对于前三种改进的地方。
4. 若a[0]即是最小或最大的元素，则退化为直接插入，此时无法减少移动次数。
5. 在代码二中，关于元素个数d=(high-low+n)%n，要注意：由于这里选取的是左闭右开的区间[low,high)，好比区间[1,2)中整数个数是2-1=1，但在区间[1,2]中整数个数是2-1+1=2，所以这里是high-low，后面的+n，你懂的。若是写成d=(high-low+1+n)%n，会进入死循环，你可以试一下。

代码就是折腾，多折腾才有进步！

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