丘奇数（Church numeral）
对于应用程序员，需要知道的是：函数编程语言把函数视为数据。
换言之，编程语言中的一切元素，归根结底都是λ表达式；正如命令思维的人认为的：编程语言中的一切元素，归根结底都是0和1.
但是对于程序员(语言使用者)，我们了解了“归根结底”之后，真正需要知道的是：函数是数据。（而不是相反，数据也是λ表达式）。
“数据意味着什么？”我不知道作者为什么这样写。我认为，如果是寻根之旅，就应该明确说明：本节的中心思想是“归根结底”。
通常，我会将这一部分的内容放在最开始的引言中介绍。参考《编程导论（Java）·1.4.3函数式编程范式》
yqj2065个人认为，练习2.6是SICP整本书中最重要的一个练习题。
1.丘奇数的含义
丘奇数(Church numeral)，并不是一个数字，而是指应用某个函数的次数。高阶函数Church- zero有两个参数f和x，表示丘奇数0，即函数f应用0次。同理可得丘奇数1和丘奇数2。
(define Church-zero (lambda (f) (lambda (x) x)))
(define Church-one
(lambda (f)
(lambda (x)
(f x)))) ;;;应用1次f
(define Church-two
(lambda (f)
(lambda (x)
(f (f x))))) ;;;应用2次f
假设有求平方的函数square(这里假设——当然Scheme也已经定义了乘法操作符*)。
(define (squarex) (* x x))
应用函数Church-two，其参数为square和3(这里假设已经定义了数字3)
((Church-two square) 3) →81
当对参数3应用两次求平方函数square，结果为81。【附：练习2.6中要求通过代换求(add-1 zero)的值的方式，给出丘奇数1和丘奇数2(不得直接使用add-1和 zero）。已知add-1
(define (add-1 n)
(lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x)))))
先看看代换规律：例如
(define add (lambda (x y) (+ x y)))
(add 1 2 )→(+ 1 2) ;;;β简化
所以(注lambda (f)写成λf，使用α-变换和β简化)
Church-one = (++ Church-zero)
=> (λn.λf.λx.(f ((n f) x)) Church-zero)
=> λf.λx.(f ((Church-zero f) x));;; β简化。
=> λf.λx.(f ((λg.λy.y f) x));;α-变换,避免混淆
=>λf.λx.(f (λy.y x)) ;;; β简化
=>λf.λx.(f x) ;;; β简化
最后得：(define one (lambda (f) (lambda (x) (f x)))) 】
2. 定义数字my0、my1、my2
为了定义数字zero、one、two……，首先需要定义一个自增函数++(SICP上的add-1)，其参数有3个。其中n是一个丘奇数。
(define (++ n)(lambda (f)(lambda (x) (f ((n f) x)))))
从Church-zero和++，可以简单地定义Church-one：
(define Church-one (++ Church-zero))
也可以通过代换的方式求(++zero)的值，给出丘奇数1和丘奇数2的直接定义。
但是，单纯地通过丘奇的λ演算——即不使用任何Scheme已经定义的东西，定义数字zero难度太大。所以，借用Scheme已经定义的数字1和+，自增函数++为：
(define ++ (lambda (x) (+ x 1)))
在这个投机取巧的自增函数++基础上(借用Scheme已经定义的数字0)，我们得到数字my0、my1、my2的定义：
(define my0 ((Church-zero ++) 0))
(* 2 my0)
(define my1 ((Church-one ++) 0))
(* 2 my1)
(define my2 ((Church-two ++) 0))
3.直接定义+
根据++函数，丘奇数m+n的+函数定义为：
+ = λm.λn.λf.λx.((((m ++) n) f) x)
验证如下：求丘奇数2+1
((+ Church-two) Church-one) = ((λm.λn.λf.λx.((((m++) n) f) x) Church-two) Church-one)
=> (λn.λf.λx.(((( Church-two ++)n) f) x)Church-one);;; β简化，替换m
=>λf.λx.(((( Church-two ++) Church-one) f) x) ;;; β简化，替换n
=>λf.λx.(( ( ( λg.λy.(g (g y)) ++) Church-one) f) x) ;; 展开与α-变换
=>λf.λx.((( λy.(++ (++ y)) Church-one) f) x)
=>λf.λx.(( (++ (++ Church-one) ) f) x) ;; 已知(++ Church-one)= Church-two
=>λf.λx.(( ( ++ Church-two ) f) x) ;; 展开++
=>λf.λx.(( ( λn.λg.λy.(g ((n g) y)) Church-two ) f) x)
=>λf.λx.(( λg.λy. (g ((Church-two g) y)) f) x)
=> λf.λx.(( λg.λy.(g ( (λh.λz.(h (h z)) g) y)) f) x)
=>λf.λx.(( λg.λy.(g (λz.(g(g z)) y) ) f) x)
=>λf.λx.( (λg.λy.(g (g (g y))) f) x)
=>λf.λx.( λy.(f (f (f y))) x)
=>λf.λx.(f (f (f x)))
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