约瑟夫环

    西方有个故事：相传著名历史学家Josephus（约瑟夫）经历了这么一段经历，在罗马人占领乔塔帕特后，40个犹太人和Josephus躲在一个山洞中。40个犹太人决定宁死也不被敌人抓到，于是决定集体自杀。大家经过讨论，决定了一个自杀方式，41个人围成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到3的人就必须自杀，然后再由下一个人重新开始报数，知道所有人都自杀身亡为止。

    然而Josephus并不像遵从这个规则，不想自杀。于是Josephus先假装同意该方案，然后坐到大家围成圆圈的第31个为止，最后逃过了这场死亡游戏[1]。

    Josephus怎么知道坐在31号位置就能成功躲避死亡呢？

    撇开故事的真实性（其实挺搞笑的，大家一起同时自杀不是更好么？），解决这个问题的方法有两种，一个是“程序员”法，即模拟游戏的进行过程，最后出列的人即为赢家（没有人监督他是否会自杀）。这种方法容易理解，但是时间开销较大O(m*n)，假设n个人，按m报数。用循环链表法很容易实现，就不再赘述。另一种方法是“数学家法”，通过数学分析，直接得出结果。数学分析比较难懂，下面就详细介绍一下。

    首先，简化一下问题表述。假设有n个人围成一个圆圈，按某个方向依次从0到n-1编号。从编号为0的人开始按相同的方向从0开始依次报数，报到m-1的人出列，然后又接着从0开始报数，如此循环，直到所有的人均出列。求最后出列的人。

    第一轮报数情况如下：

    编号：0    1    2    ...    m-1    m    ...    n-2    n-1

    报数：0    1    2    ...    m-1    0    ...    xx     xx

    其中xx表示未知，视情况而定。由此可知，第一轮报数的一定是编号为m-1的人（假设m<=n），若m>n，则为(m-1)%n

    第二轮报数从编号m开始（更确切的说从m%n）开始，情况如下(设k=m%n)：

    编号：k    k+1    ...    n-2    n-1    0    1    ..    k-2

    报数：0    1      ...    xx     xx     xx    xx    ..    xx

    映射：0    1     ...    n-2-k  n-1-k  n-k  n+1-k ..    n-2

    同样，xx表示未知。给编号做一个映射，可知第二轮报数可看成n-1个人按m的报数问题。

    接下来，我们看看两轮报数最后一个人的编号关系。假设n个人报数中，最后一个出列的人的编号为F(n)，映射中最后一个人的编号为F(n-1),则有F(n-1)-0=F(n)-k=F(n)-m%n，推出F(n)=F(n-1)+m%n。又因为F(n)、F(n-1)不可能大于n，因此F(n)=(F(n-1)+m)%n.

    若n=1，表示只有一个人，最后出列的人的编号为0，即F(1)=0.

    因此，递推公式为：

    F(1)=0

    F(n)=(F(n-1)+m)%n.

    有了这个递推公式，就能很容易求出最后一个出列的人的编号了。其时间复杂度为O(n)，大大提高了效率。

[1] 周颖, 程序员的数学思维修炼, 清华大学出版社, P144

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