网络流之--混合图的欧拉回路 出自yzmduncan.iteye.com/blog/1149049

基础知识

    欧拉回路是图G中的一个回路,经过每条边有且仅一次,称该回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图,简称E图。

    无向图中存在欧拉回路的条件:每个点的度数均为偶数。

    有向图中存在欧拉回路的条件:每个点的入度=出度。

    欧拉路径比欧拉回路要求少一点:

    无向图中存在欧拉路径的条件:每个点的度数均为偶数或者有且仅有2个度数为奇数的点。

    有向图中存在欧拉路径的条件:除了2个点外,其余的点入度=出度,且在这2个点中,一个点的入度比出度大1,另一个出度比入度大1。

     欧拉路径的输出:经典的套圈算法。

    下面来重点讲讲混合图的欧拉回路问题。

    混合图就是边集中有有向边和无向边同时存在。这时候需要用网络流建模求解。

    建模:

    把该图的无向边随便定向,计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数,那么肯定不存在欧拉回路。 因为欧拉回路要求每点入度 = 出度,也就是总度数为偶数,存在奇数度点必不能有欧拉回路。

    好了,现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2,得x。也就是说,对于每一个点,只要将x条边改变方向(入>出就是变入,出>入就是变出),就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入,那么很明显,该图就存在欧拉回路。

    现在的问题就变成了:我该改变哪些边,可以让每个点出 = 入?构造网络流模型。

    首先,有向边是不能改变方向的,要之无用,删。一开始不是把无向边定向了吗?定的是什么向,就把网络构建成什么样,边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u,连接边(u, t)、容量为x,对于出 > 入的点v,连接边(s, v),容量为x(注意对不同的点x不同)。
    之后,察看从S发出的所有边是否满流。有就是能有欧拉回路,没有就是没有。欧拉回路是哪个?察看流值分配,将所有流量非 0(上限是1,流值不是0就是1)的边反向,就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
    由于是满流,所以每个入 > 出的点,都有x条边进来,将这些进来的边反向,OK,入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么,没和s、t连接的点怎么办?和s连接的条件是出 > 入,和t连接的条件是入 > 出,那么这个既没和s也没和t连接的点,自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中,这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的,这样,进去多少就出来多少,反向之后,自然仍保持平衡。
    所以,就这样,混合图欧拉回路问题,解了。

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