cantor的数表

【题目】

题目描述

如下数列,前5项分别是1/1,1/2,2/1,3/1,2/2……。输入n,输出第n项。

1/1   1/2   1/3   1/4   1/5

2/1   2/2   2/3   2/4

3/1   3/2   3/3

4/1   4/2

5/1

样例输入

3

14

7

12345

样例输出

2/1

2/4

1/4

59/99

算法分析:

不难发现,每条斜线都有着不同的数字,第k条斜线则就会有k个数字,前n条斜线则有S(k)=1+2+3+···+k=1/2*k*(k+1)个数字.

根据这个规律,很容易就可以知道第n个数字位于使得n<=S(k)且k最小的第k条斜线上的倒数第i=S(k)-n+1位置上,则其值为i/(k+1-i).

源代码如下:

#include<stdio.h>
int main()
{
	int n,s,k;
	while(scanf("%d",&n)==1)
	{
		s=0;k=1;
		while(1)
		{
			s+=k;
			if(s>=n)
			{
				if(k%2==0) 
					printf("%d/%d\n",(k+1)-(s-n+1),s-n+1);
				else 
					printf("%d/%d\n",s-n+1,(k+1)-(s-n+1));
				break;
			}
			k++;
		}
	}
	return 0;
}

利用代数可以更好地求解此问题

n<=s(k)=1/2k(k+1)==k^2+k-2n>=0==(k-(-1+sqrt(1+8n))/2)*(k-(-1-sqrt(1+8n))/2)>=0

k=(-1-sqrt(1+8n))/2总是正数,因此n<=s(k)==k>=(-1+sqrt(1+8n))/2,换句话说,我们可以直接求出k=(-1-sqrt(1+8n))/2.

数学代码如下:

int main()
{
	int n;
	while(scanf("%d",&n)==1)
	{
		int k=(int)floor((sqrt(8.0*n+1)-1)/2-1e-9)+1;
		int s=k*(k+1)/2;
		if(k%2!=0)
			printf("%d/%d\n",s-n+1,k-s+n);
		else
			printf("%d/%d\n",k-s+n,s-n+1);
	}
	return 0;
}


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