上下界网络流学习小记

写在前面

网络流是信息学竞赛中几乎必考的一个模型。而上下界网络流也是网络流问题中的一个大类，出题很灵活。
今年冬天第一次接触上下界之后果断滚粗，于是便恶补了一下上下界，大体有两种方法。

可行流

首先建立超级源和超级汇，ss，tt。然后把每条边拆成三条边，对于每条u->v，上界为up，下界为low的边，从ss向v连容量为low的边，从u向tt连容量为low的边，再从u向v连容量为up-low的边。若有源汇则从T向S连容量为+∞的边。证明可以感性理解，因为每条边必须要流low的流量，于是我们就从ss开始强制流low，通过T回到S，再回到tt，从而保证强制性和流量守恒。判断是否可行就相当于判断从ss流出去的边是否都流满就可以了。

最小费用可行流

可以在可行流的方法上，在从ss到v的边和从u到v的边加上费用c即可。感性理解理解。
也可以把每一条必流的边上的费用减去一个inf，最后答案加回。注意流量守恒。（表示这个方法我也没怎么理解）

最大流

二分一个x，在可行流的基础上，把从T到S的边的下界变为x，然后判断是否存在可行流，最大的x即为所求。
也可以先求一遍从ss到tt的最大流，设为tmp1，然后删去所有和ss、tt有关的边，再求一遍从S到T的最大流（貌似T到S的边不用删？），设为tmp2，答案即为tmp1+tmp2？
感性理解可以认为第一次流是为了满足下界，第二次便是尽可能去流，加起来即为最大流。

最小流

这东西只会在上下界网络流中出现。
同样二分，把从T到S的边的上界变为x，下界为0。
也可以不加T到S的边，求ss到tt的最大流，然后再把这条边加上，再求ss到tt的最大流，这时这条边上的流量即为最小流。（不要问为什么）

参考资料：WerKeyTom_FTD的博客
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例题

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