生成函数学习笔记

因为本来数学就好弱，所以就一边做题一边学，边记录一下吧。

1.多项式求逆元

假设现在给定一个多项式 A ，要求多项式 B 使得 A∗B≡1(mod xn)

首先对于多项式的题目，思路大概有三种：
1. 倍增
2. 分治
3. 卡常

求逆元用的是倍增的思想。

假设我们当前求出了 B0,A∗B0≡1(mod x⌈n2⌉)

那么显然，由于 A∗B≡1(mod xn) ,则 A∗B≡1(mod x⌈n2⌉)

所以 B−B0≡0(mod x⌈n2⌉)

(B−B0)2≡0(mod xn)

B2≡B0(2B−B0)(mod xn)

两边同时乘以 A ，则
B≡B0(2−B0∗A)(mod xn)

那么 B 就可以计出来了。

时间复杂度 f(n)=f(n/2)+nlogn=O(nlogn)

2.多项式除法及取模

设现在有两个多项式 A,B ，其中 Deg(A)=n,Deg(B)=m,n≥m>0 。

我们要求出多项式 D,M ，使得 A=B∗D+M ，且 Deg(D)=n−m,Deg(M)<m

先写出来
A(x)=B(x)∗D(x)+M(x)
A(1x)=B(1x)∗D(1x)+M(1x)

A(x) 的倒置 Ar(x)=xnA(1x)

我们对等式两边同乘 xn ，则
xnA(1x)=xnB(1x)∗D(1x)+xnM(1x)
xnA(1x)=xmB(1x)∗xn−mD(1x)+xnM(1x)
Ar(x)=Br(x)Dr(x)+xnM(1x)

我们将这条式子放在 mod xn−m+1 意义下看，
Ar(x)≡Br(x)Dr(x)+xnM(1x)(mod xn−m+1)

因为 n≥n−m+1 ，所以 xnM(1x)≡0(mod xn−m+1)

所以
Ar(x)≡Br(x)Dr(x)(mod xn−m+1)
Dr(x)≡Ar(x)∗[Br(x)]−1(mod xn−m+1)

由于 Deg(D)=n−m<n−m+1 ，所以直接相乘得出来的就是原来的 Dr

那么我们就可以得到 D 了，同理也可以得到 M 。

复杂度为计算逆元以及乘法的复杂度，所以也是 O(nlogn) 的。只是常数大了一点点。

3.齐次线性递推关系

设一个数列 A 为 k 齐次线性递推关系，当且仅当其满足
∀i≥k,Ai=∑kj=1Ai−j∗Cj
其中 C 为给定的一个 k 项的数列。

要快速求出 An ，一个经典的做法就是构造一个 k∗k 的矩阵，然后矩阵快速幂。这样的复杂度是 O(k3logn) 的。

但事实上复杂度能做得更好。

设多项式 M(x)=xk−C1xk−1−C2xk−2−⋯−Ck 。这个多项式也被称为 A 的特征多项式。

设 A 的生成函数为 A(x)=∑i≥0Ai∗xi 。

那么我们可以发现的是
P(x)=A(x)−C1∗x∗A(x)−C2∗x2∗A(x)−⋯−Ck∗xk∗A(x)=A(x)∗Mr(x)
满足 Deg(P)<k ,因为后面的项都被约掉了。

因此， A(x)=P(x)Mr(x) 。

也就是说，一个 k 齐次线性递推关系的数列的生成函数，必然能表示成一个次数小于 k 的多项式除以一个次数为 k 的多项式的形式。

同理，对于一个分式 P(x)M(x) ，若满足 M(x)|P(x),Deg(M)>Deg(P) ，则其必然为一个 Deg(M) 齐次线性递推关系的数列的生成函数。

但只有这些还不够，有一个非常重要的定理。

Cayley-hamilton定理

若存在一个多项式 S ，设 Deg(S)=l ,满足 M|S ，则以 M 为特征多项式的数列 A 必然满足

0=∑i=0lSi∗Ai

计算 An

设多项式 S(x)≡xN(mod M(x)) 。那么 xN−S(x) 必然能被 M(x) 整除。

由上面的定理可得
AN=∑k−1i=0Si∗Ai 。

那么现在的问题就是计算这个 S(x) 。一种暴力的做法就是用快速幂暴力乘，暴力取模，这样的复杂度是 O(k2logN) 的。

但我们上面已经讲了取模可以做到 O(NlogN) 。

那么计算 S 的复杂度就可以使 O(klogklogN) 。

4.多点求值

给定一个多项式 F(x) ,以及若干个 xi ，让你求出 F(xi) 。

上面说过了多项式的题无非倍增或分治。这里就是分治。

设过程Solve (l,r,F) ，表示我们要计算出所有的 F(xi),i∈[l,r] ，并且 Deg(F)=O(r−l) 。

那么很显然，当 l=r 时，直接计算。

否则，我们设 mid=l+r2 。

构建两个多项式 M0,M1 ，分别满足

M0(x)=∏i=lmid(x−xi)

M1(x)=∏i=mid+1r(x−xi)

设 Q0,Q1 ,满足

Q0(x)≡F(x)(mod M0(x))

Q1(x)≡F(x)(mod M1(x))

则

F(x)=M0(x)∗C0(x)+Q0(x)

F(x)=M1(x)∗C1(x)+Q1(x)

我们将 xi,i∈[l,mid] 代入 F(x) ，可得 F(xi)=M0(xi)∗C0(xi)+Q0(xi) 。

又由于 M0(xi)=0 ，所以 F(xi)=Q0(xi) 。

对于 i∈[mid+1,r] 同理。

那么我们递归下去，Solve (l,mid,Q0) 以及Solve (mid+1,r,Q1) 即可。并且 Deg(Q0)=O(mid−l) 。

总的复杂度为 O(nlog2n)