POJ 2299 Ultra-QuickSort（求逆序数）

题目链接：

http://poj.org/problem?id=2299

解题思路：

树状数组实际上就是一个数组，只不过它的每个元素保存的是跟原来数组的一些元素相关的结合值。

若A为原数组，定义数组C为树状数组。C数组中元素C[ i ]表示A[ i –lowbit( i ) + 1]至A[ i ]的结合值。

lowbit(i)是i的二进制中最后一个不为零的位数的2次方，可以这样计算 lowbit(i)=x&(-x)

当想要查询一个sum(n)时，可以依据如下算法即可：

step1:　令sum = 0，转第二步；
step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；
step3:  令n = n – lowbit(n)，转第二步。

n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

求逆序的思路：

可以把数一个个插入到树状数组中， 每插入一个数， 统计比他小的数的个数，对应的逆序为 i- getsum( data[i] )，其中 i 为当前已经插入的数的个数， getsum( data[i] ）为比data[i] 小的数的个数，i- getsum( data[i] ) 即比 data[i] 大的个数， 即逆序的个数。最后需要把所有逆序数求和，就是在插入的过程中边插入边求和。

AC代码（树状数组）：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 500005;
int n;
struct node{
    int pos,val;
}no[N];
int reflect[N];
int c[N];

bool cmp(const node &a,const node &b){
    return a.val < b.val;
}

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void update(int x){
    while(x <= n){
        c[x] += 1;
        x += lowbit(x);
    }
}

int sum(int x){
    int ans = 0;
    while(x){
        ans += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

int main(){
    while(scanf("%d",&n),n){
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            scanf("%d",&no[i].val);
            no[i].pos = i;
        }
        sort(no+1,no+n+1,cmp);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            reflect[no[i].pos] = i;//离散化
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            c[i] = 0;//初始化
        ll ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            update(reflect[i]);
            ans += (ll)(i - sum(reflect[i]));
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

归并排序是将两个(或两个以上)有序表合并成一个新的有序表，即把待排序序列分为 若干个子序列，每个子序列是有序的，然后再把有序的子序列合并为整体有序序列 。
归并排序是分治算法的一个典型的应用，而且是稳定的一种排序，可以利用归并排序的过程中，计算每个小区间的逆序数，进而得到大区间的逆序数。那么，问题就解决了。

AC代码（归并排序）：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define INF 0xfffffff
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 500005;
int n;
int a[N],L[N],R[N];
ll ans;

void Merge(int a[],int l,int mid,int r)
{
    int n1 = mid-l+1;
    int n2 = r-mid;
    int i,j,k;
    for(i = 1; i <= n1; i++)
        L[i] = a[l+i-1];
    for(i = 1; i <= n2 ;i++)
        R[i] = a[mid+i];
    L[n1+1] = INF;
    R[n2+1] = INF;
    i = 1;
    j = 1;
    for(k = l; k <= r; k++)
    {
        if(L[i] <= R[j])
        {
            a[k] = L[i];
            i++;
        }
        else
        {
            a[k] = R[j];
            j++;
            ans += (ll)(n1-i+1);
        }
    }
}

void Merge_sort(int a[],int l,int r)
{
    if(l < r)
    {
        int mid = (l+r)>>1;
        Merge_sort(a,l,mid);
        Merge_sort(a,mid+1,r);
        Merge(a,l,mid,r);
    }
}

int main(){
    while(scanf("%d",&n),n){
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        ans = 0;
        Merge_sort(a,1,n);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}