Climbing Stairs

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

利用递归的思想：逆向思想。如果你想上到第n个台阶，有几种可能？答案是，2种可能：从（n-1）号台阶跨一阶上来，或是，从（n-2）号台阶一步跨两阶上来。所以，climbStairs(n) = climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2)。那么收敛条件是什么呢？ 很容易：n=1时只有一种可能；n=2时有2种可能；n=3时，等于climbStairs(2) + climbStairs(1) = 1+2 =3； ……

所以代码为：

    public int climbStairs(int n) {
        if(n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;
        return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
    }

这时我以为已经做完了，以跑，发现超时了。好吧，那就优化一下吧。

在递归算法中由于是不断重复调用方法本身，所以有太多的计算是重复的了。一种非常常见的优化递归的算法就是建一个表，把计算过的结果保存其中，如果下次发现又要计算这个参数的结果，直接从表中查找就好了，不用重复计算了：

public class Solution {
    private int[] buffer = new int[100];

    public int climbStairs(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;
        if(buffer[n] == 0){
            buffer[n] = climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
        } 
        return buffer[n];
    }   
}

这一次就没有超时了。顺便说一下，我这里用的表只是一个简单的固定长度的数组，根据应用的需要，有点时候还可以把这种表用队列（先进先出）或是动态数组（大小可增长）的形式保存。