【算法】汉诺塔
1.问题描述
有三根杆子（tower）A，B，C。A杆上有N个穿孔圆盘（disk），盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆：
（1）每次只能移动一个圆盘；
（2）大盘不能叠在小盘上面。
2.递归解
用hanoi[n]记录n个盘从一个杆移到另一个杆的移动次数，移盘的流程：
（1）有算法可以将A杆上面n-1个盘移到B杆上，移动次数为hanoi[n-1]；
（2）将最下面的盘（即最大的盘）移到C杆上，移动次数为1；
（3）用该算法将B杆上的n-1个盘移到C杆上，移动次数为hanoi[n-1]。
易得递推公式：hanoi[n]=2*hanoi[n-1]+1。
源代码（C）：
/*hanoi.h*/ #include <assert.h> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> extern int cnt; void move(int n,char a,char b,char c);
/*main.c*/
#include "hanoi.h"
int cnt=0;
int main()
{
int n;
printf("%s","input the number of tower:");
scanf("%d",&n);
assert(n>0);
move(n,'A','B','C');
return 0;
}
/*move.c*/
#include "hanoi.h"
void move(int n,char a,char b,char c)
{
if(n==1)
{
++cnt;
printf("%s%2d:%s%d%s%c%s%c.\n","step ",cnt," move disk ",1," from tower ",a," to tower ",c);
}
else
{
move(n-1,a,c,b);
++cnt;
printf("%s%2d:%s%d%s%c%s%c.\n","step ",cnt," move disk ",n," from tower ",a," to tower ",c);
move(n-1,b,a,c);
}
}
4.问题变种
4.1 POJ 1958
现在有4个tower和n个disk，求从tower A移到tower D所需的最少步骤数。
Discuss中给出了递推公式，自己很容易可以推出来：
其中，hanoi3[ i ]表示有3个tower时i个disk的移动次数，hanoi4[ i ]表示有4个tower时i个disk的移动次数。
源代码：
| 1958 | Accepted | 156K | 0MS | C | 448B | 2013-08-30 10:16:20 |
#include "stdio.h"
#define N 13
int main()
{
int i,k;
int hanoi3[N],hanoi4[N];
/*initialization*/
hanoi3[1]=1;
hanoi4[1]=1;
/*compute hanoi3*/
for(i=2;i<N;i++)
hanoi3[i]=2*hanoi3[i-1]+1;
printf("%d\n",hanoi4[1]);
for(i=2;i<N;i++)
{
hanoi4[i]=2+hanoi3[i-1];
for(k=1;k<i;k++)
if(hanoi4[i]>2*hanoi4[k]+hanoi3[i-k])
hanoi4[i]=2*hanoi4[k]+hanoi3[i-k];
printf("%d\n",hanoi4[i]);
}
return 0;
}
4.2 POJ 3601
跟原始的汉诺塔问题所不同的是盘的大小有相同的，并且盘移到C杆之后应保持其在A杆的顺序。
用i-block表示大小为i的盘所组成的block（可以叫块，或组）；a[i]表示i-block的盘的个数（即大小为i的盘的个数），b[i]表示将i个block不考虑顺序地从一个杆移到另一个杆的移动次数，所谓不考虑顺序，是指在每个block中不考虑盘的叠放次序；c[i]表示将i个block考虑顺序地从一个杆移到另一个杆的移动次数，所谓考虑顺序，是指在移入杆的所有盘要保持在移出杆的顺序。
设有i种盘，即block数为i，移盘的操作流程：
（1）将(i-1)-block, (i-2)-block, ... , 1-block的i-1个block不考虑顺序地从A杆移到C杆，移动次数为b[i-1]。
（2）将i-block从A杆移到B杆，移动次数为a[i]；注意，i-block在B杆的顺序正好是在A杆的倒序，意思是说，如果i-block在A杆从上至下的顺序是1, 2, ... , a[i] ，则i-block在B杆的从上至下的顺序是a[i], a[i]-1, ... ,1。
（3）将i-1个block从C杆移回A杆，移动次数为b[i-1]；注意，移回到A杆i-1个block保持了在（1）步骤中在A杆的初始顺序。
（4）将i-block从B杆移到C杆，移动次数为a[i]；注意，i-block在C杆恢复在A杆的顺序（在纸上画一画就明白了）。
（5）将i-1个block从A杆移到C杆，移动次数为c[i-1]。
在不考虑顺序移动时，可以（1）将i-1个block从A杆移到B杆，移动次数为b[i-1]；（2）将i-block从A杆移到C杆，移动次数为a[i]；（3）将i-1个block从B杆移到C杆，移动次数为b[i-1]。
从以上流程，得出递推公式：
b[i]=2*b[i-1]+a[i]
c[i]=2*b[i-1]+2*a[i]+c[i-1]
特别地，当a[i]==1时，即移动i-block不需要考虑顺序，有c[i]=b[i]。初始化，b[1]=a[1]，c[1]=2*(a[1]-1)+1。
源代码：
| 3601 | Accepted | 164K | 0MS | C | 392B | 2013-08-30 17:59:16 |
#include "stdio.h"
#define MAX 101
int main()
{
int i,n,m;
int a[MAX],b[MAX],c[MAX];
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
b[1]=a[1];
c[1]=2*(a[1]-1)+1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
b[i]=(2*b[i-1]+a[i])%m;
if(a[i]==1)
c[i]=b[i];
else
c[i]=(2*b[i-1]+2*a[i]+c[i-1])%m;
}
printf("%d\n",c[n]);
}
return 0;
}