博弈论学习小结&HDU 4664#by zh

        上次多校有道博弈的题，完全不知道怎么做，赛后艾神说用SG函数然后异或什么的，但是当时根本不知道是什么东西，于是就看了一下博弈，感觉还是不太难的。这几天做了一些博弈入门的题目，在这里总结一下。

        以取石子游戏为例，一堆石子有n个，每次每人最多取k个，先取光者胜。对于游戏中的任意一种状态，只有两种可能，先手必胜，或先手必败。我们称先手必胜的点为N点，先手必败的点为P点，则对于一个确定的n和k而言，先手者的胜负是确定了的，只要最初的状态为N点则，先手必胜，否则先手必败。给出结论：若一个点可以一步到达一个P点，则该点为N点；若一个点在一步之内无论怎么走，都会到达一个N点，则该点为P点。利用上面的结论（我觉得还是很好理解的），我们可以确定任意一个状态的胜负情况。定义函数SG(x)，SG(x)就是去掉所有能到达状态的SG值之后的最小整数，若SG值为0，则当前状态必败。如果有多个子游戏，那总SG值就是SG(X1)^SG(X2)^...^SG(Xn)，那么对于多个游戏，我们把SG值预处理一下，再异或出最终结果就可以了。贴出我学习的博客链接http://blog.sina.com.cn/s/blog_83d1d5c70100y9yd.html

HDU 4664给了N个平面，平面上有N个点，构成一个凸包，每次可以选取两个点把他们连接起来，如果某个平面先构成了一个三角形那么这个平面的游戏就结束了，如果某人无法对任意一个平面进行操作，那么他就输了，输出谁有必胜策略。题目给了N个平面，就相当于N个子游戏，那么我们只要求出一个平面下的情况，异或就好了。对于一个平面的情况，如果某两个点之前已经被连了一条线，那么这两个点都不能再去连其他的点，因为这样做必败，而题目中的线不能有相交，那么对一个平面最初的操作就把这个平面分成了两部分，初态的SG值，就是分成两部分之后的SG值异或，那么我们枚举一下选两个点连线后左边和右边各有多少点，把他们异或一下就是子状态的SG值，因为SG[0]=SG[1]=0，那么我们从前向后推就可以了，鉴于这个题的ai非常大，我们大胆猜想SG值一定有循环，打表发现SG值在68以后，每34一循环，这样的话任意一个状态的SG值也就知道了，异或输出答案即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int sg[1000];
bool vis[1000];
int main()
{
    sg[0]=0;
    sg[1]=0;
    for(int i=2;i<1000;i++)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int j=0;j<=(i-2)/2;j++)
        {
            vis[sg[j]^sg[i-2-j]]=true;
        }
        for(int j=0;j<=i;j++)
            if(!vis[j])
            {
                sg[i]=j;
                break;
            }
    }
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n,ans=0;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int temp;
            scanf("%d",&temp);
            if(temp>34*2)
            {
                temp=(temp%34)+34*2;
            }
            ans^=sg[temp];
        }
        if(ans)
            puts("Carol");
        else puts("Dave");
    }
}