Matlab中cov函数的算法

（装）Matlab中cov函数的算法

      前几日一MM问我matlab中的cov函数是如何实现的，笔算的结果和电脑算的结果怎么不一样……于是两个人一起算了下，确实结果不太一样（其实差好远）……于是决定花时间研究了一下……于是花了不少时间才研究出来。这里把这个问题总结一下，以给后人前车之鉴。

      算法实现

clc;
clear all;

M = 5
N = 3;

% 生成一个M*N的随机原始矩阵
OriginMatrix = rand( M, N );

% 使用自带的cov函数计算相关矩阵
CovMatrix = cov( OriginMatrix );

MeanArray = mean( OriginMatrix );
MeanMatrix = ones( M, 1 ) * MeanArray;

% 得到每列减去每列均值的的矩阵
OriginSubMean = OriginMatrix - MeanMatrix;

% 计算出相关矩阵
if M == 1
    CovMatrixComputed = OriginSubMean' * OriginSubMean / M;
else
    CovMatrixComputed = OriginSubMean' * OriginSubMean / ( M-1 );
end

      如何理解

      matlab在计算相关矩阵时，把每一列的数作为一个随机变量的样本，每一行作为一个这几个随机变量的联合样本，即第i个随机变量取第k行的样本值时，第j个随机变量也取第k行的样本值。利用这个性质，我们就可以用协方差的公式代入来计算协方差矩阵了。

      然而，由于矩阵中给出只是这些随机变量的样本，根据概率论的知识我们知道，由于我们不知道这些随机变量的概率分布（或联合概率分布），我们是不可能计算出这些随机变量的期望、方差或是协方差的，而只能计算出它们的一个无偏估计，即样本均值、样本方差与样本协方差。其计算公式如下所示：

      matlab中的解释

      cov(x), if X is a vector, returns the variance. For matrices, where each row is an observation, and each column is a variable,cov(X) is the covariance matrix.diag(cov(X)) is a vector of variances for each column, andsqrt(diag(cov(X))) is a vector of standard deviations.cov(X,Y), whereX and Y are matrices with the same number of elements, is equivalent tocov([X(:) Y(:)]).

      cov(x) or cov(x,y) normalizes by N-1, if N>1, where N is the number of observations. This makescov(X) the best unbiased estimate of the covariance matrix if the observations are from a normal distribution. ForN=1,cov normalizes byN.