BZOJ 1041 [HAOI2008] 圆上的整点 题解与分析

 [HAOI2008]圆上的整点

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Description

平面上有一个圆, 圆心坐标为(0,0),半径为n. 问圆周上有多少个整点. 整点的定义即x,y坐标均为整数的点. 

input

输入文件只有一个正整数n.

Output

输出文件为一个正整数, 即圆周上有多少个整点.

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

20%的测试数据, n<=10000.
100%的测试数据, n<=2000 000 000, 保证答案在long long/int64 范围内.

样例说明：

4个整点分别为：(-4,0),(4,0),(0,4),(0,-4)

 

【分析】：           

          样例图示：

                                                                          

        首先,最暴力的算法显而易见：枚举x轴上的每个点，带入圆的方程，检查是否算出的值是否为整点，这样的枚举量为2*N，显然过不了全点。

        然后想数学方法。

       

        

         有了上面的推理，那么实现的方法为：

         枚举d∈[1,sqrt(2R)]，然后根据上述推理可知：必先判d是否为2R的一约数。

         此时d为2R的约数有两种情况：d=d或d=2R/d。

         第一种情况：d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/2d)] <由2*a*a < 2*R/d转变来>，算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

         第二种情况：d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)] <由2*a*a < d转变来>，算出对应的b=sqrt(d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

         因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>，根据圆的对称性，其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同，最后，在象限轴上的4个整点未算，加上即可，那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4

 

【时间复杂度分析】：

        枚举d：O(sqrt(2R)),然后两次枚举a：O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d))，求最大公约数：O(logN)

 

【代码】：

/************************************************************** 
    Problem: 1041 
    Language: C++ 
    Result: Accepted 
    Time:188 ms 
    Memory:1284 kb 
****************************************************************/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
long long R,ans=0;
long long gcd(long long x,long long y){return x%y==0 ? y : gcd(y,x%y);}
bool check(long long y,double x)
{
      if(x==floor(x))//判断整点 
      {
            long long x1=(long long)floor(x);
            if(gcd(x1*x1,y*y)==1 && x1*x1!=y*y)//gcd(A,B)=1并且A!=B 
                  return true;
      }
      return false;
}
int main()
{
      //freopen("input.in","r",stdin);
	  //freopen("output.out","w",stdout);
      scanf("%lld",&R);
      for(long long d=1;d<=(long long)sqrt(2*R);d++)
      {
            if((2*R)%d==0)
            {
                  for(long long a=1;a<=(long long)sqrt(2*R/(2*d));a++)//2*a^2<2*r/d
                  {
                        double b=sqrt(((2*R)/d)-a*a);
                        if(check(a,b))
                              ans++;
                  }
                  if(d!=(2*R)/d)
                  {
                        for(long long a=1;a<=(long long)sqrt(d/2);a++)//2*a^2<d
                        {
                              double b=sqrt(d-a*a);
                              if(check(a,b))
                                    ans++;
                        }
                  }
            }
      }    
      printf("%lld\n",ans*4+4); 
	  //system("pause");
      return 0;
}

 

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