HAOI2015 解题报告
先给出ydc的题解地址：
http://ydc.blog.uoj.ac/blog/336
T1（树上染色）：
题目地址：
http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=1962
首先有一个基础的想法是DP：令f[i][j]代表以i为根的子树中选了j个黑色点的最小代价（代价指该子树中所有边对答案的贡献之和）。在转移时，只需要枚举在当前儿子中放几个黑色点，计算这条父子边对答案的贡献。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL INF=1e16;
const int SIZEN=2010;
int N,K;
LL F[SIZEN][SIZEN];
vector<pair<int,int> > c[SIZEN];
int subsz[SIZEN];
void DFS(int x,int fa){
F[x][0]=F[x][1]=0;
subsz[x]=1;
for(int i=0;i<c[x].size();i++){
int u=c[x][i].first;
if(u==fa) continue;
DFS(u,x);
subsz[x]+=subsz[u];
for(int j=subsz[x];j>=0;j--){
for(int k=0;k<=subsz[u]&&k<=j;k++){
LL add=(LL)k*(K-k)+(LL)(subsz[u]-k)*(N-K-(subsz[u]-k));
add*=c[x][i].second;
add+=F[u][k];
F[x][j]=max(F[x][j],F[x][j-k]+add);
}
}
}
}
void read(void){
scanf("%d%d",&N,&K);
int a,b,w;
for(int i=1;i<N;i++){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
c[a].push_back(make_pair(b,w));
c[b].push_back(make_pair(a,w));
}
}
int main(){
freopen("haoi2015_t1.in","r",stdin);
freopen("haoi2015_t1.out","w",stdout);
read();
for(int i=0;i<SIZEN;i++) for(int j=0;j<SIZEN;j++) F[i][j]=-INF;
DFS(1,0);
cout<<F[1][K]<<endl;
return 0;
}
考试时我是拿这个当50分暴力写的，结果就这么玄学的A掉了……
T2（树上操作）：
题目地址：
http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=1963
这道题我在考场上写了一个分块，思路如下：
首先建出树的DFS序列，那么每个点到根的路径也就是从DFS序列中该点开始，不断向前跳跃的一条链。两个修改操作都是DFS序列的区间修改，而查询操作就是查询该链上的点权之和。
将DFS序列分块。对每个点，记录它的对应链在本块中的最前点，以及该点到这个最前点需要跳跃几次、经过的点权和。
显然两个修改操作都是DFS序列的区间修改，那么对中间的整块修改lazy标记，暴力修改并重新DP两端部分。
查询操作时，只需要根据我们已有的DP信息，不断地向前跳跃，经过sqrt(N)个块就能到达根。
这样的时间复杂度就是O(Msqrt(N))的。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int SIZEN=100010,SIZEM=200010;
int N,M;
class Edge{
public:
int to;
int nxt;
};
Edge edges[SIZEM];
int tot=0;
int head[SIZEN];
LL val[SIZEN];
LL lis_val[SIZEN];
int father[SIZEN];
int lis_fa[SIZEN];
int subsz[SIZEN];
int dfn[SIZEN];
int dfslis[SIZEN];
int timer=0;
int BN,Bsize;
int start[SIZEN],end[SIZEN];
int belong[SIZEN];
LL badd[SIZEN];//整个区间被加了多少
LL cgoal[SIZEN];//跳出块之前最后跳到哪里
LL cnum[SIZEN];//跳出块之前有多少个
LL csum[SIZEN];//跳出块之前的和(不计badd)
void calc_block(int k){
for(int i=start[k];i<=end[k];i++) lis_val[i]+=badd[k];
badd[k]=0;
for(int i=start[k];i<=end[k];i++){
int j=lis_fa[i];
if(belong[j]!=k){
cgoal[i]=i;
cnum[i]=1;
csum[i]=lis_val[i];
}
else{
cgoal[i]=cgoal[j];
cnum[i]=cnum[j]+1;
csum[i]=csum[j]+lis_val[i];
}
}
}
void seg_add(int l,int r,LL w){
if(belong[l]==belong[r]){
for(int i=l;i<=r;i++){
lis_val[i]+=w;
}
calc_block(belong[l]);
}
else{
for(int k=belong[l]+1;k<belong[r];k++){
badd[k]+=w;
}
for(int i=l;i<=end[belong[l]];i++) lis_val[i]+=w;
for(int i=start[belong[r]];i<=r;i++) lis_val[i]+=w;
calc_block(belong[l]);
calc_block(belong[r]);
}
}
LL query(int u){
int k=dfn[u];
LL ans=0;
while(k){
ans+=csum[k]+cnum[k]*badd[belong[k]];
k=lis_fa[cgoal[k]];
}
return ans;
}
void work(void){
int cmd;
int x,a;
for(int i=1;i<=M;i++){
scanf("%d",&cmd);
if(cmd==1){
scanf("%d%d",&x,&a);
seg_add(dfn[x],dfn[x],a);
}
else if(cmd==2){
scanf("%d%d",&x,&a);
seg_add(dfn[x],dfn[x]+subsz[x]-1,a);
}
else if(cmd==3){
scanf("%d",&x);
LL ans=query(x);
printf("%lld\n",ans);
}
}
}
void make_block(void){
for(int i=1;i<=N;i++){
lis_val[dfn[i]]=val[i];
lis_fa[dfn[i]]=dfn[father[i]];
}
Bsize=sqrt(1.0*N)+1;
BN=1;start[1]=1;
int tot=0;
for(int i=1;i<=N;i++){
belong[i]=BN;
end[BN]=i;
tot++;
if(tot>=Bsize||i==N){
BN++;
start[BN]=i+1;
tot=0;
}
}
for(int i=1;i<=BN;i++) calc_block(i);
}
void DFS(int x){
dfn[x]=++timer;
dfslis[timer]=x;
subsz[x]=1;
for(int i=head[x];i!=-1;i=edges[i].nxt){
Edge &e=edges[i];
int u=e.to;
if(u==father[x]) continue;
father[u]=x;
DFS(u);
subsz[x]+=subsz[u];
}
}
void addedge(int from,int to){
edges[tot]=(Edge){to,head[from]};
head[from]=tot;
tot++;
}
void read(void){
scanf("%d%d",&N,&M);
int x;
for(int i=1;i<=N;i++){
scanf("%d",&x);
val[i]=x;
}
int a,b;
for(int i=1;i<N;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
addedge(a,b);
addedge(b,a);
}
}
int main(){
freopen("haoi2015_t2.in","r",stdin);
freopen("haoi2015_t2.out","w",stdout);
memset(head,-1,sizeof(head));
read();
DFS(1);
make_block();
work();
return 0;
}
不过还有个问题：在10^5的规模下系统栈会爆掉。所以需要手写栈。我没用手写栈，所以只得了50分。
T3（数组游戏）：
题目地址：
http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=1964
这道题首先要想明白一点：一个状态的SG函数等于其所有白格的SG函数的异或和。
打个比方：如果某个状态是仅有1,4,7三个白格，那么其SG值等于（仅有1这一白格的SG值） xor （仅有4这一白格的SG值）xor（仅有7这一白格的SG值）。
为什么呢？前面的白格不是会把后面的白格翻成黑的，于是就不再是独立的子游戏了吗？其实如果选了1，在操作中把4翻过来，我们大可以视作“4处是两个白格”，而这会导致4带来的SG值和自己异或抵消掉，也就和“4是黑格”一样了。
然后就顺理成章了：可以证明，SG函数是分段的，而且段数非常少。这样一段一段地来就行了。
代码：
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
const int SIZE=100010;
class Seg{
public:
int l,r;
int sg;
};
bool operator < (const Seg &s,int a){
return s.l>a;
}
vector<Seg> segs;
int find_sg(int a){
int k=lower_bound(segs.begin(),segs.end(),a)-segs.begin();
return segs[k].sg;
}
int cur_cnt(int l,int r,int a){
return r/a-(l-1)/a;
}
int cur_cnt(const Seg &s,int a){
return cur_cnt(s.l,s.r,a);
}
Seg merge(Seg a,const Seg &b){
a.l=min(a.l,b.l);
a.r=max(a.r,b.r);
return a;
}
int vis[SIZE]={0};
int timer=0;
void calc_seg(int L,int R){//保证L~R的SG值一样
//以R为例
timer++;
int now=0;
vis[now]=timer;
for(int i=segs.size()-1;i>=0;i--){
Seg &s=segs[i];
int t=cur_cnt(s,R);
if(t>=1) vis[now^s.sg]=timer;
if(t&1) now^=s.sg;
}
int f;
for(f=0;;f++){
if(vis[f]!=timer) break;
}
Seg s;s=(Seg){L,R,f};
if(!segs.empty()&&f==segs.back().sg) segs.back()=merge(segs.back(),s);
else segs.push_back(s);
}
int N,K;
void work(void){
int w,x,f=0;
scanf("%d",&w);
for(int i=1;i<=w;i++){
scanf("%d",&x);
f^=find_sg(x);
}
if(f==0) printf("No\n");
else printf("Yes\n");
}
void prepare(void){
int B=sqrt(N+0.5);
for(int i=1;i<B;i++) calc_seg(N/(i+1)+1,N/i);
for(int i=N/B;i>=1;i--) calc_seg(i,i);
}
int main(){
freopen("haoi2015_t3.in","r",stdin);
freopen("haoi2015_t3.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&N,&K);
prepare();
for(int i=1;i<=K;i++) work();
return 0;
}
ps：题解中说N=10^9时SG函数的段数不超过2000，但实际应为9000多……不过并没有这样的极限数据，所以也能过……
这道题我在考场上写的是30分的暴力状压DP。
set（按位或）：
题目地址：
http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=1965
我们要求的期望也就是：操作0次没变成目标的概率+操作1次没变成目标的概率+操作2次没变成目标的概率……
而“操作k次没变成目标的概率”是什么呢？有1个0没变成1的概率-有2个0没变成1的概率+有3个0没变成1的概率……这是一个容斥。
可以注意到，容斥的每一项在总的答案中以几何级数的形式出现。例如，当N=4时，假设每次操作，“0011”中的“00”仍然保持的概率是0.5，那么它对总的答案的贡献是：-(1+0.5+0.5^2+0.5^3)……负号是因为有两个0，而第一项1是操作0次没变成目标的概率中的。
因此我们得出了一个算法：枚举s，计算s中那些0在一次操作中仍然全部保持为零的概率p，然后根据s中0的个数，将答案加上或减去1+p+p^2+...，也就是1/(1-p)。当然，如果1-p为零，答案就是INF了。
那么对于s，p究竟是什么呢？就“0011”而言，显然这个数是：选中0011的概率+选中0001的概率+选中0010的概率+选中0000的概率。换言之，选中0011的所有子集的概率之和。
三个不同的分值就对应了三种计算子集和的方法。2^2N暴力遍历这是N<=10的30分算法，而3^N枚举子集就是N<=15的50分算法。至于100分算法，需要用到一种特殊的技巧：
for(int i=0;i<N;i++){
for(int s=0;s<(1<<N);s++){
if((s>>i)&1) P[s]+=P[s^(1<<i)];
}
}
假设P数组一开始是读进来的概率数组（P[i]代表选择i的概率），那么在进行这一操作后，P[i]就成为了选择i的所有子集的概率之和。
为什么这样是对的呢？我们可以感性地理解一下，看看P[0000]是怎么加到P[0011]上的（这都是二进制……）：在i=0时，P[0000]加到了P[0001]上，而在P=1时，P[0001]带着其中的P[0000]加到了P[0011]上。可以发现，每个子集的这种“加法路径”是唯一的。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const double eps=1e-10;
int N;
double P[1<<20];
double F[1<<20];
int cnt[1<<20];
int getdig(int s,int i){return (s>>i)&1;}
void work(void){
cnt[0]=0;
for(int s=1;s<(1<<N);s++){
cnt[s]=cnt[s>>1]+(s&1);
}
memcpy(F,P,sizeof(F));
for(int i=0;i<N;i++){
for(int s=0;s<(1<<N);s++){
if(getdig(s,i)) F[s]+=F[s^(1<<i)];
}
}
double ans=0;
for(int s=0;s<(1<<N)-1;s++){
double p=F[s];
if(1-p<eps){
printf("INF\n");
return;
}
double now=1/(1-p);
if((N-cnt[s])&1) ans+=now;
else ans-=now;
}
printf("%.10lf\n",ans);
}
void read(void){
scanf("%d",&N);
for(int i=0;i<(1<<N);i++) scanf("%lf",&P[i]);
}
int main(){
freopen("haoi2015_set.in","r",stdin);
freopen("haoi2015_set.out","w",stdout);
read();
work();
return 0;
}
这题我在考场上写的是60分算法。
str（数字串拆分）：
题目地址：
http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=1966
首先我们考虑一下f值的求法：有转移方程f(i)=f(i-1)+f(i-2)+...+f(i-M)，显然这是可以写成矩阵的。即，假设f(0)~f(M-1)组成一个列向量D0，那么存在某个M*M的转移矩阵A，使得f(n)=(A^n*D0)[1][1]（这个记号代表矩阵A^n*D0的(1,1)位置的元素）。
我们不妨以123为例：f(123)=(A^123*D0)[1][1]，f(24)=(A^24*D0)[1][1]，那么f(123+24)=(A^123*D0)[1][1] +(A^24*D0)[1][1] = ((A^123+A^24)*D0)[1][1]。
换言之，为了求g(123)=f(123)+f(1+23)+f(12+3)+f(1+2+3)，我们只需要求B=A^123+A^(1+23)+A^(12+3)+A^(1+2+3)，然后计算B*D即可。
具体做法就是：先用类似高精度的方法（有点像NOI2013 矩阵游戏）预处理出seq数组：seq[i][j]代表A^S[i~j]。然后进行DP：dp[i]表示以i结尾的和，有转移dp[i]=∑dp[j]*seq[j+1][i]，其中j<i。
这道题卡常数，需要一些技巧，比如计算矩阵乘法时，用一个long long先存下所有a[i][k]*b[k][j]之和，最后再取模。事实上，对于极限数据，矩阵乘法的内层循环大致需要运行1.25亿次，也就是说，在较慢的机器上可能没有任何人能通过这道题。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int SIZEN=510;
const int MOD=998244353;
int timer=0;
class Matrix{
public:
int n,m;
int s[5][5];
inline void clear(int n_,int m_){
n=n_;
m=m_;
memset(s,0,sizeof(s));
}
inline void unit(int x){
n=m=x;
memset(s,0,sizeof(s));
for(int i=0;i<n;i++) s[i][i]=1;
}
inline void operator *= (const Matrix &b){
static int c[5][5];
LL now;
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<b.m;j++){
c[i][j]=0;
now=0;
for(int k=0;k<m;k++){
now+=(LL)s[i][k]*b.s[k][j];
}
c[i][j]=now%MOD;
}
}
memcpy(s,c,sizeof(s));
m=b.m;
}
};
void print(Matrix a){
cout<<a.n<<" "<<a.m<<": "<<endl;
for(int i=0;i<a.n;i++){
for(int j=0;j<a.m;j++){
cout<<a.s[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<endl;
}
inline Matrix operator * (const Matrix &a,const Matrix &b){
Matrix c;
c.n=a.n,c.m=b.m;
LL now;
for(int i=0;i<c.n;i++){
for(int j=0;j<c.m;j++){
c.s[i][j]=0;
now=0;
for(int k=0;k<a.m;k++){
now+=(LL)a.s[i][k]*b.s[k][j];
}
c.s[i][j]=now%MOD;
}
}
return c;
}
inline Matrix operator + (Matrix a,const Matrix &b){
for(int i=0;i<a.n;i++){
for(int j=0;j<a.m;j++){
a.s[i][j]=(a.s[i][j]+b.s[i][j])%MOD;
}
}
return a;
}
inline Matrix slowpow(Matrix a,int n){
Matrix ans;
ans.unit(a.n);
for(int i=1;i<=n;i++) ans*=a;
return ans;
}
inline Matrix quickpow(Matrix a,int n){
Matrix ans;
ans.unit(a.n);
while(n){
if(n&1) ans*=a;
a*=a;
n>>=1;
}
return ans;
}
char S[510];
int L,M;
Matrix step;
Matrix seq[SIZEN][SIZEN];
Matrix DP[SIZEN];
int F[SIZEN]={0};
void work(void){
DP[0].unit(M);
for(int i=1;i<=L;i++){
DP[i].clear(M,M);
for(int k=1;k<=i;k++){
DP[i]=DP[i]+DP[i-k]*seq[i-k+1][i];
}
}
F[0]=1;
for(int i=1;i<=M;i++){
for(int k=1;k<=M;k++){
if(i-k<0) continue;
F[i]=(F[i]+F[i-k])%MOD;
}
}
Matrix ori;
ori.clear(M,1);
for(int i=0;i<M;i++) ori.s[i][0]=F[i];
ori=DP[L]*ori;
printf("%d\n",ori.s[0][0]);
}
Matrix step_pow[20];
void prepare(void){
step.clear(M,M);
for(int i=0;i<M-1;i++) step.s[i][i+1]=1;
for(int i=0;i<M;i++) step.s[M-1][i]=1;
step_pow[0].unit(M);
for(int i=1;i<20;i++) step_pow[i]=step_pow[i-1]*step;
for(int i=1;i<=L;i++){
Matrix now;
now.unit(M);
for(int j=i;j<=L;j++){
now=quickpow(now,10)*step_pow[S[j]-'0'];
seq[i][j]=now;
}
}
}
void read(void){
scanf("%s",S+1);
L=strlen(S+1);
scanf("%d",&M);
}
int main(){
freopen("haoi2015_str.in","r",stdin);
freopen("haoi2015_str.out","w",stdout);
read();
prepare();
work();
return 0;
}
总结
考试中我算法A了三道题：上午的T1,T2和下午的str。不过实际结果是上午180分，下午70分。上午的180分可能是100+50+30，即T2未写手工栈导致只有50分。下午70分可能是10+60，第一题我输出了8位而非答案中的10位小数，因此若cena评测时采用了简单对比而非special judge，那么我的第一题就只得10分，而不是应有的60分。第二题可能是由于卡常数的关系，只得到了60分（后四个点全部是极限数据）。