数据挖掘导论：从包含d个项的数据集提取的可能规则总数

在数据挖掘导论（完整版）一书中的第6章讲到了关联分析，并在6.1问题定义中提到了关联规则。
其中第203页中直接给出了公式（6-3）：从包含d个项的数据集提取的可能规则总数为 R=3d−2d+1+1 ，并要求自己证明，同时也是第251页的习题5。

该公式的证明过程用到了排列组合的知识，现在把我的证明过程和大家分享一下。

证明：
对于关联规则 X→Y ( 其中X∩Y= ∅ )，X∪Y包含的项的个数可以为2，3，…，d。
假设X∪Y包含的项的个数为k，则计算此情况下可能规则数，须先从d个项中抽取k个项，即 Ckd ；再对选出的k个项选取m(m=1,2,3,…,k-1)个项作为规则的左部X，剩余k-m个项作为规则的右部Y，选法的种类数共有 C1k+C2k+C3k+⋯+Ck−1k ，即 ∑k−1m=1Cmk 。

下面来求 ∑k−1m=1Cmk 的值。首先我们知道 ∑km=0Cmk=(1+1)k=2k ，

则 ∑k−1m=1Cmk=∑km=0Cmk−C0k−Ckk=2k−2 。

因此，对于X∪Y包含的项的个数为k时，可能的规则数为 Ckd.(2k−2) 。

由此可得，
当X∪Y包含的项的个数为2时，可能的规则数为 R2=C2d.C12=C2d.(22−2) ；

当X∪Y包含的项的个数为3时，可能的规则数为 R3=C3d.（C13+C23)=C3d.(23−2) ；

当X∪Y包含的项的个数为4时，可能的规则数为 R4=C4d.（C14+C24+C34)=C4d.(24−2) ；

……

当X∪Y包含的项的个数为d时，可能的规则数为 Rd=Cdd.（C14+C24+C34)=Cdd.(2d−2) 。

将上面的可能规则数加起来即可得到可能的规则总数，为

R=R2+R3+R4+⋯+Rd=C2d.(22−2)+C3d.(23−2)+C4d.(24−2)+⋯+Cdd.(2d−2)=∑k=2dCkd(2k−2)=∑k=2dCkd2k−2∑k=2dCkd

又 ∑dk=2Ckd=∑dk=0Ckd−C0d−C1d=2d−1−d ；

∑dk=2Ckd2k=∑dk=0Ckd2k−C0d.20−C1d.21 ，

我们知道 ∑dk=0Ckd2k=(2+1)d=3d ，则 ∑dk=2Ckd2k=3d−1−2d 。

因此，

R=∑k=2dCkd2k−2∑k=2dCkd=(3d−1−2d)−2(2d−1−d)=3d−2d+1+1

至此，证明得到了正确的结果。