算法之树的分治法

 分治,指的是分而治之,即将一个问题分割成一些规模较小的相互独立的子问题,以便各个击破。我们常见的是在一个线性结构上进行分治,而在本文中我们将会讲解分治算法在树结构上的运用,称之为树的分治算法。

1.基于点的分治:首先选取一个点将无根树转为有根树,再递归处理每一颗以根结点的儿子为根的子树


2.基于边的分治:在树中选取一条边,将原树分成两棵不相交的树,递归处理。


首先我们考虑如何选取点(边)。对于基于点的分治,我们选取一个点,要求将其删去后,结点最多的树的结点个数最小,这个点被称为“树的重心”。而基于边的分治,我们选取的边要满足所分离出来的两棵子树的结点个数尽量平均,这条边称为“中心边”。而对于这两个问题,都可以使用在树上的动态规划来解决,时间复杂度均为O(n),其中N为树的结点总数。

算法题1.树中点对统计

给定一棵 N(1<=N<=10000)个结点的带权树,定义dist(u,v)为v ,u两点间的最短路径长度,路径的长度定义为路径上所有边的权和。再给定一个K(1<=K<=10^9),如果对于不同的两个节点a,b,如果满足dist(a,b) <= K,则称( a,b)为合法点对。 求合法点对个数。 

算法2.Free Tour

 给定一棵含有N个结点的带权树,其中结点分为两类,黑点和白点。  要求找到一条路径,使得经过的黑点数不超过K个,且路径长度最大。 数据范围N 《=200000。

代码稍后上传。

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