两条异面直线的公垂线段中点

直线表达

假设直线都用方向和给定点表示： li 的方向为 Wi=(wi1,wi2,wi3)T , 经过点 Xi=(ai,bi,ci)T , 且 ∑j(wij)2=1 。

求两个异面直线之间公垂线段的中点。

几何意义

这个点还可以用到两异面直线的距离 di 的平方和 ∑id2i 最小的概念来表示。

先表示出空间任一点 P=(x,y,z)T 到直线 li 的距离 di 。从向量的观点看，连接 PXi 两点的矢量沿着直线 li 方向的投影向量的模就是 d2i , 投影矩阵是：

Ti=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥−Wi⋅WTiWTi⋅Wi

从而（注意到投影矩阵满足 TTi=Ti , 以及 T2i=Ti ）：

d2i=(Ti(P−Xi))TTi(P−Xi)=(P−Xi)TTi(P−Xi)

从而两条直线确定的 P 点使得下式达到极小值：

P∗=argminP∈R3∑i=12(P−Xi)TTi(P−Xi)

求向量导数得到极值必要条件时 P 满足：

∑i=12(TiP∗−TiXi)=0

即

(∑i=12Ti)P∗=∑i=12(TiXi)

P∗=(∑i=12Ti)+∑i=12(TiXi)

这里的 “+”表示秩3时（异面直线则必满足）的左逆或Moore-Penrose 广义逆；下标中的 2 可以容易推广到 n 条直线；这样代数表达形式就简化了。

这个结果在symmedian point triangulation的时候有应用。