51nod 125乘法逆元 （扩展欧几里得）

给出2个数M和N(M < N)，且M与N互质，找出一个数K满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Input

输入2个数M, N中间用空格分隔（1 <= M < N <= 10^9)

Output

输出一个数K，满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Input示例

2 3

Output示例

2

思路：

对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

 

逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为。

 

推导过程如下

                            

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <iomanip>

using namespace std;
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define maxn 1000005
#define MOD 1000000007
#define mem(a , b) memset(a , b , sizeof(a))
#define LL long long
#define ULL long long
const long long INF=0x3fffffff;

void exc_gcd(LL a , LL b , LL &d , LL &x , LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1 ;
        y = 0 ;
        d = a;
    }
    else
    {
        exc_gcd(b ,a % b , d , y , x);
        y -= x * (a/b);
    }
}
//ofstream  ofile;
int main()
{
    int n , m;
    while(scanf("%d %d",&m , &n) != EOF && m)
    {
        LL x , y , d;
        exc_gcd(m , n , d , x , y);
        x /= d;
        y /= d;
        LL t1 = n / d;
        LL t2 = m / d;
        x = (x % t1 + t1) % t1;
        cout << x << endl;
    }
    return 0;
}