【算法】递归(recursion)+经典例题个人分析

定义（个人理解）

1.自己调用比自己小一个规模的自己。

2.有结束条件。

3.对问题的细化。

ps: 大家可以通过这个效应感性的感受一下递归。

德罗斯特效应：

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递归条件

当然并不是所有的问题都能够用递归来实现。能够实现递归，需要满足以下条件：

1.有递归公式。问题能够分解为一个一个于自身类似的小问题。

2.有确切的边界。能够最后分解为一个有确定解的问题。

辅助分析图：

个人觉得，这个图应该是能够比较清晰地反映递归的调用了。

我们可以把递归调用看作是在原本的f()函数中又添加了f()函数的代码，只是现在的参数与原来不同罢了。只有当到达边界的时候，函数才会一层一层的被返回。也就是一个一个的问题被完成返回后，最外层的函数才会真正被完成也返回。

不太懂？没关系，咱们从实例中去理解递归~

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经典例题（个人分析）

该排版由易到难，请各位看客根据自己的需求翻阅。

阶乘

问题描述：请输入一个n值，输出n!的值。

code:

运行结果：

变式1：完成Fibonacci数列

变式2：完成Ackerman函数

(答案在最后~)

是不是觉得递归很简单呢？下面咱们再继续吧~

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汉诺塔问题

问题描述：假设有3个分别命名为X、Y和Z的塔座，在塔座X上插有n个直径大小各不相同、按从小到大编号为1,2，...， n的圆盘(如图所示)。现要求将X轴上的n个圆盘移至塔座Z上并仍按同样顺序叠排，圆盘移动时必须遵循下列规则：

（1）每次只能移动一个圆盘；

（2）圆盘可以插在X、Y和Z中的任一塔座上；

（3）任何时刻都不能讲一个较大的圆盘压在较小的圆盘之上。

请问如何移？要移多少次？

code:

运行结果：

如果感觉有点晕的话也可以：

1.采取最开始解释的方法去看，就是在原来最开始的函数中添加了代码。

2.带入实际数据进去跟着程序运行一遍。

3.看下面动图~

    

汉诺塔栈方法解决：http://www.cricode.com/304.html

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八皇后问题

问题描述：经典的八皇后问题，即在一个8*8的棋盘上放8个皇后，使得这8个皇后无法互相攻击( 任意2个皇后不能处于同一行，同一列或是对角线上)，输出所有可能的摆放情况。

code:

#include <iostream>
using namespace std;
int c[20],n=8,cnt=0;
void print(){ //打印
    for(int i=0;i<n;++i){
        for(int j=0;j<n;++j){
            if(j==c[i])cout<<"1 ";
            else cout<<"0 ";
        }
        cout<<endl;
    }
    cout<<endl;
}
void search(int r){
    if(r==n){ //当已经排到最后一个皇后的时候位置一定固定。【条件2】
        print();
        ++cnt;
        return;
    }
    for(int i=0;i<n;++i){ //r表示第几行
        c[r]=i; //c[r]=i，表示第r行第i列
        int ok=1;
        for(int j=0;j<r;++j)
            if(c[r]==c[j]||r-j==c[r]-c[j]||r-j==c[j]-c[r]){ //判断是否在同一列，是否在主对角线或副对角线上【条件1】
                ok=0;
                break;
            }
        if(ok)search(r+1); //r+1必定不在同一行，故不用判断是否在一行
    }
}
int main(){
    search(0);
    cout<<cnt<<endl;
    return 0;
}

运行结果部分截屏：

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Answer:

变式1：使用公式f[n]=f[n-1]+f[n-2]，依次递归计算，递归结束条件是f[1]=1，f[2]=1。

变式2：使用公式Ack(m,n)=Ack(m-1,Ack(m,n-1))，依次递归计算，递归结束条件n=0时，Ack(m,n)=Ack(m-1,1);m=0时，Ack(m,n)=n+1。