最优二叉树或哈夫曼树

最优二叉树概念 

1．树的路径长度
    　树的路径长度是从树根到树中每一结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。

2．树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree，简记为WPL)
　　结点的权：在一些应用中，赋予树中结点的一个有某种意义的实数。
　　结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。
　　树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree)：定义为树中所有叶结点的带权路径长度之和，通常记为： 
                  
  其中：
      
    n表示叶子结点的数目
    w_i和l_i分别表示叶结点k_i的权值和根到结点k_i之间的路径长度。
    树的带权路径长度亦称为树的代价。

3．最优二叉树或哈夫曼树
    　在权为w_l，w₂，…，w_n的n个叶子所构成的所有二叉树中，带权路径长度最小(即代价最小)的二叉树称为最优二叉树或哈夫曼树。
  【例】给定4个叶子结点a，b，c和d，分别带权7，5，2和4。构造如下图所示的三棵二叉树(还有许多棵)，它们的带权路径长度分别为：
        (a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
        (b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46
        (c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35
　　其中(c)树的WPL最小，可以验证，它就是哈夫曼树。
        
   注意：
    ① 叶子上的权值均相同时，完全二叉树一定是最优二叉树，否则完全二叉树不一定是最优二叉树。
    ② 最优二叉树中，权越大的叶子离根越近。

    ③ 最优二叉树的形态不唯一，WPL最小

构造最优二叉树

1．哈夫曼算法
   　 哈夫曼首先给出了对于给定的叶子数目及其权值构造最优二叉树的方法，故称其为哈夫曼算法。其基本思想是：
　　(1)根据给定的n个权值w_l，w₂，…，w_n构成n棵二叉树的森林F={T₁，T₂，…，T_n}，其中每棵二叉树T_i中都只有一个权值为w_i的根结点，其左右子树均空。
　　(2)在森林F中选出两棵根结点权值最小的树(当这样的树不止两棵树时，可以从中任选两棵)，将这两棵树合并成一棵新树，为了保证新树仍是二叉树，需要增加一个新结点作为新树的根，并将所选的两棵树的根分别作为新根的左右孩子(谁左，谁右无关紧要)，将这两个孩子的权值之和作为新树根的权值。
　　(3)对新的森林F重复(2)，直到森林F中只剩下一棵树为止。这棵树便是哈夫曼树。 
  用哈夫曼算法构造哈夫曼树的过程见【动画演示】。
  注意：
    ① 初始森林中的n棵二叉树，每棵树有一个孤立的结点，它们既是根，又是叶子
    ② n个叶子的哈夫曼树要经过n-1次合并，产生n-1个新结点。最终求得的哈夫曼树中共有2n-1个结点。
    ③ 哈夫曼树是严格的二叉树，没有度数为1的分支结点。
   
2．哈夫曼树的存储结构及哈夫曼算法的实现
（1） 哈夫曼树的存储结构
    用一个大小为2n-1的向量来存储哈夫曼树中的结点，其存储结构为：
  #define n 100 //叶子数目
  #define m 2*n-1//树中结点总数
  typedef struct { //结点类型
      float weight； //权值，不妨设权值均大于零
      int lchild，rchild，parent； //左右孩子及双亲指针
    }HTNode；
  typedef HTNode HuffmanTree[m]； //HuffmanTree是向量类型
  注意：
    　因为C语言数组的下界为0，故用-1表示空指针。树中某结点的lchild、rchild和parent不等于-1时，它们分别是该结点的左、右孩子和双亲结点在向量中的下标。
    　这里设置parent域有两个作用：其一是使查找某结点的双亲变得简单；其二是可通过判定parent的值是否为-1来区分根与非根结点。

（2）哈夫曼算法的简要描述
    　在上述存储结构上实现的哈夫曼算法可大致描述为(设T的类型为HuffmanTree)：
　(1)初始化
   　 将T[0．．m-1]中2n-1个结点里的三个指针均置为空(即置为-1)，权值置为0。
　(2)输人
    　读人n个叶子的权值存于向量的前n个分量(即T[0．．n-1])中。它们是初始森林中n个孤立的根结点上的权值。
　(3)合并
    　对森林中的树共进行n-1次合并，所产生的新结点依次放人向量T的第i个分量中(n≤i≤m-1)。每次合并分两步：
    　①在当前森林T[0．．i-1]的所有结点中，选取权最小和次小的两个根结点[p1]和T[p2]作为合并对象，这里0≤p1，p2≤i-1。
    　② 将根为T[p1]和T[p2]的两棵树作为左右子树合并为一棵新的树，新树的根是新结点T[i]。具体操作：
　　将T[p1]和T[p2]的parent置为i，
　　将T[i]的lchild和rchild分别置为p1和p2
　　新结点T[i]的权值置为T[p1]和T[p2]的权值之和。
  注意：
   　 合并后T[pl]和T[p2]在当前森林中已不再是根，因为它们的双亲指针均已指向了T[i]，所以下一次合并时不会被选中为合并对象。


（3）哈夫曼算法的求精
  void CreateHuffmanTree(HuffmanTree T)
    {//构造哈夫曼树，T[m-1]为其根结点
      int i，p1，p2；
      InitHuffmanTree(T)； //将T初始化
      InputWeight(T)； //输入叶子权值至T[0．．n-1]的weight域
      for(i=n；i<m；i++){//共进行n-1次合并，新结点依次存于T[i]中
          SelectMin(T，i-1，&p1，&p2)；
          //在T[0．．i-1]中选择两个权最小的根结点，其序号分别为p1和p2
          T[p1].parent=T[p2].parent=i；
          TIi].1child=p1； //最小权的根结点是新结点的左孩子
          T[j].rchild=p2； //次小权的根结点是新结点的右孩子
          T[i].weight=T[p1].weight+T[p2].weight；
        } // end for
    }