编程之美 金刚坐飞机问题

题目描述

现在有一架飞机要起飞，乘客们正准备按机票号码（1,2,3...,N）一次排队登机。突然来了一只大猩猩（金刚）。他也有机票，但是他插队第一个登上了飞机，然后随意的选择了一个座位坐下了。根据社会的和谐程度，其他的乘客有两种反应：

1.乘客们都义愤填膺，“既然金刚同志都不守规矩，为什么我要遵守？”他们也随意的找位置坐下，并且坚决不让座位给其他乘客。

2.乘客们虽然感到愤怒，但是还是以“和谐”为重，如果自己的位置没有被占领，就赶紧坐下，如果自己的位置已经被别人（或者金刚同志）占了，就随机的选择另一个位置坐下，就开始闭目养神，不在挪动。

问题：在这两种情况下，第i个乘客（出去金刚同志外）做到自己原机票位置的概率分别是多少？

其中问题二：

仔细审题

 

首先，仔细审题，有两个细节需要搞清楚：

 

1. 飞机上总共有多少座位？N？N+1？还是更多？从问题1的官方解答看，飞机上座位总数为N。
2. “...乘客们正准备按机票编号（1,2,3...N）依次排队登机。突然来了一只大猩猩（对，他叫金刚）。他也有飞机票，但是...”，金刚的机票编号是否属于闭区间[1,N]？换句话说，所有乘客（包括金刚）的总数是N还是N+1？既然座位总数为N，金刚也有飞机票，飞机也不可能超载，因此，所有乘客（包括金刚）的总数为N。金刚的机票编号也属于闭区间[1,N]。

推敲官方答案

 

然后，看一下编程之美的官方答案：第i个乘客坐在自己位置上的概率为 。
 。
既然飞机座位总数为N，根据官方答案，第1个乘客的概率为。实际上，第1个乘客的概率应该为。计算过程如下：
根据全概率公式，第1个乘客坐在自己座位上的概率：


 
如何解释这个问题呢？从问题2的官方解答过程“如果n=1或n>i，那么第i个乘客坐在自己位置上的概率为1....”可以推测，官方认为金刚的机票编号为1。官方答案中的i应该不包括1。

重新描述问题

 

到这里，我重新描述一下问题：
飞机上有N个座位，座位编号依次为1,2,..N。恰好有N个乘客排队登机，第1个乘客的座位编号是1，第2个乘客的座位编号是2，...，第N个乘客的座位编号是N。每个乘客都应该坐在编号正确的座位上。但是，第1个乘客是不讲道理的金刚，他第一个进入飞机，随便（随机）挑了一个座位坐下。其他乘客敢怒不敢言，只好依次找座位坐下。如果自己的座位没有被占，则坐自己的作为，否则，也像金刚那样随便挑一个座位。现在，求第i个乘客（第1个乘客还是金刚）坐到自己座位的概率是多少？
我算出的答案为：


 
与官方答案是一致的，但是本文会给出更加详细的计算过程。

 

概率计算过程

 

下面描述计算过程。

令P(i)表示，第i个乘客坐到座位i的概率。

金刚的座位明明是空的，他还要随便占位；其他乘客只有在自己座位被占的情况下，才随便坐。因此，金刚与其他乘客的行为并不相同，需要分开计算。

 

先计算金刚的概率

 

显然，P(1)就是金刚坐在1号座位的概率。金刚是第一个随便挑座位的，因此概率为 。

 

再计算其他乘客的概率

核心工具是全概率公式

 

第2~N个乘客的概率不容易看出，我们根据全概率公式来计算，条件为金刚坐在编号为j的座位上：
，其中：

• P(K=j)表示，金刚坐在座位j的概率
• P(i|K=j)表示，在金刚坐在座位j上的情况下，第i个乘客坐在座位i的概率

显然，金刚坐在位置j的概率均等，都是 。

条件概率P(i|K=j)的计算不太直观，我们先简单分析一下：

1. 如果j=1，也就是说金刚居然坐在了自己的座位上，第i个乘客（其实是所有其他乘客）必然能够坐到自己座位，因此P(K=j) = 1。
2. 如果j=i，也就是说金刚居然坐在了第i个乘客的座位上，第i个乘客肯定不能坐到自己座位，因此P(K=j) = 0。
3. 如果j>i，也就是说，金刚坐了（第i个乘客）后面的座位，不影响前面乘客找座位，第i个乘客（其实是第2~j-1个乘客）必然能够坐到自己座位，因此P(K=j) = 1。
4. 如果1<j<i，也就是说，金刚抢了（第i个乘客）前面的座位，肯定会影响第i个乘客（其实是第j~N个乘客）的座位。

因此，可以初步计算：

这时，只需要计算最后一个条件概率 。

 

难点是计算条件概率

可以依次计算P(i|K=i-1)，P(i|K=i-2)，...，P(i|K=2)，发现他们的值都为 ，神奇吧！

最终结果：

 

自顶向下计算条件概率

 

那么，1<j<i时，P(i|K=j)到底是怎么计算的呢？下面详细推导一下j=i-1和j=i-2这两种情况，其他情况可以顺推。

如果金刚坐在了座位i-1上，第i-1个乘客可以选择座位1、i、i+1~N。每种选择的概率均等，为1/(N-i+2)：

 

1. 如果第i-1个乘客选择座位1，则第i个乘客必然能坐到自己座位，概率为1
2. 如果第i-1个乘客选择座位i，则第i个乘客必然不能坐到自己座位，概率为0
3. 如果第i-1个乘客选择座位i+1~N，则第i个座位必然能坐到自己座位，概率为1

根据全概率公式，有

如果金刚坐在了座位i-2上，第i-2个乘客可以选择座位1、i-1、i~N。每种选择的概率均等，为1/(N-i+3)：

 

1. 如果第i-2个乘客选择座位1，则第i个乘客必然能坐到自己座位，概率为1
2. 如果第i-2个乘客选择座位i-1，则第i-1个乘客的选择将影响第i个乘客的概率。此种情况恰好可以递归到P(i|K=i-1)，只要假设第i-2个乘客就是金刚，它坐在了座位i-1上
3. 如果第i-2个乘客选择座位i，则第i个乘客必然不能坐到自己座位，概率为0
4. 如果第i-2个乘客选择座位i+1~N，则第i个座位必然能坐到自己座位，概率为1

根据全概率公式，有

 

如果继续计算下去，其实可以发现规律，。
  

挖掘递归现象

 

其实，从上述推导的过程中，我们已经发现递归的迹象，是否可以再深入挖掘一下递归公式，进而避免繁琐的推导呢？

如果金刚坐在了座位j上，那么第j个乘客将会在座位1、j+1~N中随即选择一个座位。此时，乘客数量变成N-j+1，座位的数量也是N-j+1，第j个乘客恰好是剩余乘客的第1个，他变成了新的金刚。我们把他的座位编号从j换成1，这个变换不会影响问题的答案。下面我们来证明这个变换的安全性。

这个变换肯定会影响第j个乘客的概率，但是我们要计算的 并不包括第j个乘客，所以不用考虑这个影响。对于第2~i-1个乘客而言，如果第j个乘客无论是坐在1还是j，他们都可以坐在自己的座位上，对他们来说没有区别，对他们的概率也没有任何影响。因此，这个变换是安全的。

 

从问题的形式上看，变换之后的问题，与原问题等价，只是问题规模从N减小到N-j+1，且每位乘客的编号减小(j-1)，座位编号也减小(j-1)。下面详细描述新问题：

飞机上有N-j+1个座位，座位编号依次为1,2,..N-j+1。恰好有N个乘客排队登机，第1个乘客的座位编号是1，第2个乘客的座位编号是2，...，第N-j+1个乘客的座位编号是N-j+1。每个乘客都应该坐在编号正确的座位上。但是，第1个乘客是不讲道理的金刚，他第一个进入飞机，随便（随机）挑了一个座位坐下。其他乘客敢怒不敢言，只好依次找座位坐下。如果自己的座位没有被占，则坐自己的作为，否则，也像金刚那样随便挑一个座位。现在，求第i个乘客（第1个乘客还是金刚）坐到自己座位的概率是多少？

 

利用递归形式计算条件概率

 

这里引入了一个新的变量n，表示乘客的总数。我们令F(i,n)表示在乘客总数为n的情况下，第i个乘客坐到自己座位的概率。显然，P(i) = F(i,N)。

下面，我们开始计算F(i,n)，首先将P(i,N)计算结果中的N替换成n，然后利用子问题的递归形式。

 
 因此，我们有

 
 

结合金刚的概率，我们得到完整答案：

参考网站：http://jarfield.iteye.com/blog/1798180