【COCI 2013】Inspeaker

Description

JZOJ 3167
有N个商铺，M个操作。
1 T K Z S 表示K号商铺在第T天搬进了一家启动资金为S的商人，这个商人每天赚的钱为Z
（Z,S可以是负数，新搬进来的商人会把之前的商人赶走，从搬进来的次日开始运营）
2 T A B 询问在第T天时，A~B号商铺中最有钱的商人有多少钱
（没有商人输出nema）

N <= 100,000 , M <= 300,000 , 其余的值的绝对值不超过1e6。
时间限制：4S 空间限制：32MB

First Impression

我在做模拟赛的时候看到这题我的心情是崩溃的。
看到32MB的限制就知道是远古时代的题目。
觉得不可做没想到好方法就打了个暴力模拟草草了事。

Analysis

观察一下，我们在打暴力的时候会出现这样的一条式子
Ai,t=(T−ti)∗Zi+Si=T∗Zi−(ti∗Zi−Si)
其中 Ai,t 为第 i 个商店在第 t 天结算后的余额，其他如题目所示。
我们设 Ki=Zi , Bi=−(ti∗Zi−Si)
式子就转化为 Ai,t=T∗Ki+Bi
这就是一条直线的方程。
问题转化为给出多条直线，求x = T的时候 y 的最大值。
我们把商铺分成 N−−√ 块，维护每个块内的最大直线是哪条，这样一来我们的查询就是 N−−√ 的啦。
怎么得知每个块内的最大直线？
设直线 l1=k1∗x+b1,l2=k2∗x+b2
若 l2 比 l1 更优，且 k2>k1 ，可得
b2−b1k2−k1>−x
这么一来，我们把坐标看作一个二维平面的点 (ki,bi) ，这就转化为普通的斜率优化了
因为 x 递增，所以 −x 递减，所以我们维护两点之间的斜率递减，每次去靠后面的满足条件的点作为最优决策【既该区间最优值】即可。
至于不在区间内的，暴力扫就好，所以询问 O(N−−√) 。
这东西怎么维护？
每次修改都暴力重建即可。
我们还保证了k是递增的，在删除一个点的同时插入一个点，用插入排序，时间是 O(N−−√) ， 再加上暴力重建是 O(N−−√) ， 总的就是 O(2N−−√) 。
由于每次询问都要挪动每块内的单点队列的指针【不断往后挪】，虽然重建指针会挪到最前面但无伤大雅，也只是一个块罢了。

Details

分块大法好！
注意很多地方要long long
维护的斜率递减用叉积判断，用的时候再尽可能选后面的决策。
斜率递减，这个点和这点后面的一个点形成的斜率若>-x就选后面的点比较优，把当前点弹出队列。他后面那个比他优，他就没什么卵用了。当然你也可以在构建单调队列【上凸壳】的时候就以当前的时间为基准能弹出队首就弹出队首，虽然时间复杂度没有改变。

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 7 , M = 1e3 + 3;

typedef long long LL;

struct Node{
    LL k,b;
}E[N];

bool bz[N],flag;
int n,m,type,T,K,Z,S,A,B,tot;
int b[M][M],que[M][M],po[M];
LL ans;

void Getmax(LL &a , LL b) {if (a < b) a = b;}
inline int Getnum(int x) {return (x - 1) / tot + 1;}

bool Calc(int x , int y , int limit)
{
    if (E[x].b - E[y].b > limit * (E[x].k - E[y].k)) return 1;
    return 0;
}

LL cross(int x , int y , int z)
{
    LL sum = (E[y].k - E[x].k) * (E[z].b - E[x].b) - (E[z].k - E[x].k) * (E[y].b - E[x].b);
    return sum;
}

void Deal(int x , int num , LL K , LL B , int T)
{
    int p,l,r;
    E[num].k = K , E[num].b = B;
    for (p = 1 ; p <= b[x][0] ; p ++) if (b[x][p] == num) break;
    if (p > b[x][0]) b[x][++ b[x][0]] = num;
    while (p < b[x][0] && E[b[x][p]].k > E[b[x][p + 1]].k) swap(b[x][p + 1] , b[x][p]) , p ++;
    while (p > 1 && E[b[x][p]].k < E[b[x][p - 1]].k) swap(b[x][p - 1] , b[x][p]) , p --;
    r = 0;
    for (int i = 1 ; i <= b[x][0] ; i ++)
    {
        while (r > 1)
        {
            if (cross(que[x][r - 1] , que[x][r] , b[x][i]) >= 0) r--; else break;
        }
        que[x][++ r] = b[x][i];
    }
    que[x][0] = r , po[x] = 1;
}

void Query(int x , int y , int T , bool &flag)
{
    for (int i = x ; i <= y ; i ++)
    {
        if (!b[i][0]) continue;
        flag = 1;
        while (po[i] < que[i][0] && Calc(que[i][po[i] + 1] , que[i][po[i]] , -T)) po[i] ++;
        Getmax(ans , E[que[i][po[i]]].k * T + E[que[i][po[i]]].b);
    }
}

int main()
{
    freopen("2.in" , "r" , stdin);freopen("2.out" , "w" , stdout);

    scanf("%d%d" , &n , &m);

    tot = (int)sqrt(n);
    while (m --)
    {
        scanf("%d" , &type);
        if (type == 1)
        {
            scanf("%d%d%d%d" , &T , &K , &Z , &S);
            Deal(Getnum(K) , K , Z , -((LL)T * Z - S) , T);
            bz[K] = 1;
        } else 
        {
            scanf("%d%d%d" , &T , &A , &B);
            if (A > B) swap(A , B);flag = 0;
            ans = -1152921504606846976LL;
            if (Getnum(A) >= Getnum(B) - 1)
            {
                for (int i = A ; i <= B ; i ++)
                    if (bz[i]) Getmax(ans , E[i].k * T + E[i].b) , flag = 1;
            } else
            {
                int p1 = Getnum(A) , p2 = Getnum(B);
                for (int i = A ; i <= B ; i ++)
                {
                    if (Getnum(i) != p1) {p1 = i ; break;}
                    if (!bz[i]) continue;
                    Getmax(ans , E[i].k * T + E[i].b);
                    flag = 1;
                }
                for (int i = B ; i >= A ; i --)
                {
                    if (Getnum(i) != p2) {p2 = i ; break;}
                    if (!bz[i]) continue;
                    Getmax(ans , E[i].k * T + E[i].b);
                    flag = 1;
                }
                Query(Getnum(p1) , Getnum(p2) , T , flag);
            }
            if (!flag) puts("nema"); else printf("%I64d\n" , ans);
        }
    }

    return 0;
}