图——最小生成树的普里姆算法

/*
*Copyright (c) 2015 , 烟台大学计算机学院
*All right resvered .
*文件名称: prim算法.cpp
*作    者: 郑兆涵
*图——最小生成树的普里姆算法
*/

问题:

最小生成树的prim算法例子

测试用图为:

编程代码:

//头文件：graph.h，包含定义图数据结构的代码、宏定义、要实现算法的函数的声明
#ifndef GRAPH_H_INCLUDED
#define GRAPH_H_INCLUDED
#define MAXV 100                //最大顶点个数
#define INF 32767       //INF表示∞
typedef int InfoType;

//以下定义邻接矩阵类型
typedef struct
{
    int no;                     //顶点编号
    InfoType info;              //顶点其他信息，在此存放带权图权值
} VertexType;                   //顶点类型
typedef struct                  //图的定义
{
    int edges[MAXV][MAXV];      //邻接矩阵
    int n,e;                    //顶点数，弧数
    VertexType vexs[MAXV];      //存放顶点信息
} MGraph;                       //图的邻接矩阵类型

//以下定义邻接表类型
typedef struct ANode            //弧的结点结构类型
{
    int adjvex;                 //该弧的终点位置
    struct ANode *nextarc;      //指向下一条弧的指针
    InfoType info;              //该弧的相关信息,这里用于存放权值
} ArcNode;
typedef int Vertex;

typedef struct Vnode            //邻接表头结点的类型
{
    Vertex data;                //顶点信息
    int count;                  //存放顶点入度,只在拓扑排序中用
    ArcNode *firstarc;          //指向第一条弧
} VNode;
typedef VNode AdjList[MAXV];    //AdjList是邻接表类型

typedef struct
{
    AdjList adjlist;            //邻接表
    int n,e;                    //图中顶点数n和边数e
} ALGraph;                      //图的邻接表类型

//功能：由一个反映图中顶点邻接关系的二维数组，构造出用邻接矩阵存储的图
//参数：Arr - 数组名，由于形式参数为二维数组时必须给出每行的元素个数，在此将参数Arr声明为一维数组名（指向int的指针）
//      n - 矩阵的阶数
//      g - 要构造出来的邻接矩阵数据结构
void ArrayToMat(int *Arr, int n, MGraph &g); //用普通数组构造图的邻接矩阵
void ArrayToList(int *Arr, int n, ALGraph *&); //用普通数组构造图的邻接表
void MatToList(MGraph g,ALGraph *&G);//将邻接矩阵g转换成邻接表G
void ListToMat(ALGraph *G,MGraph &g);//将邻接表G转换成邻接矩阵g
void DispMat(MGraph g);//输出邻接矩阵g
void DispAdj(ALGraph *G);//输出邻接表G
#endif // GRAPH_H_INCLUDED

//源文件：graph.cpp，包含实现各种算法的函数的定义
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "graph.h"

//功能：由一个反映图中顶点邻接关系的二维数组，构造出用邻接矩阵存储的图
//参数：Arr - 数组名，由于形式参数为二维数组时必须给出每行的元素个数，在此将参数Arr声明为一维数组名（指向int的指针）
//      n - 矩阵的阶数
//      g - 要构造出来的邻接矩阵数据结构
void ArrayToMat(int *Arr, int n, MGraph &g)
{
    int i,j,count=0;  //count用于统计边数，即矩阵中非0元素个数
    g.n=n;
    for (i=0; i<g.n; i++)
        for (j=0; j<g.n; j++)
        {
            g.edges[i][j]=Arr[i*n+j]; //将Arr看作n×n的二维数组，Arr[i*n+j]即是Arr[i][j]，计算存储位置的功夫在此应用
            if(g.edges[i][j]!=0)
                count++;
        }
    g.e=count;
}

void ArrayToList(int *Arr, int n, ALGraph *&G)
{
    int i,j,count=0;  //count用于统计边数，即矩阵中非0元素个数
    ArcNode *p;
    G=(ALGraph *)malloc(sizeof(ALGraph));
    G->n=n;
    for (i=0; i<n; i++)                 //给邻接表中所有头节点的指针域置初值
        G->adjlist[i].firstarc=NULL;
    for (i=0; i<n; i++)                 //检查邻接矩阵中每个元素
        for (j=n-1; j>=0; j--)
            if (Arr[i*n+j]!=0)      //存在一条边，将Arr看作n×n的二维数组，Arr[i*n+j]即是Arr[i][j]
            {
                p=(ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));   //创建一个节点*p
                p->adjvex=j;
                p->info=Arr[i*n+j];
                p->nextarc=G->adjlist[i].firstarc;      //采用头插法插入*p
                G->adjlist[i].firstarc=p;
            }

    G->e=count;
}

void MatToList(MGraph g, ALGraph *&G)
//将邻接矩阵g转换成邻接表G
{
    int i,j;
    ArcNode *p;
    G=(ALGraph *)malloc(sizeof(ALGraph));
    for (i=0; i<g.n; i++)                   //给邻接表中所有头节点的指针域置初值
        G->adjlist[i].firstarc=NULL;
    for (i=0; i<g.n; i++)                   //检查邻接矩阵中每个元素
        for (j=g.n-1; j>=0; j--)
            if (g.edges[i][j]!=0)       //存在一条边
            {
                p=(ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));   //创建一个节点*p
                p->adjvex=j;
                p->info=g.edges[i][j];
                p->nextarc=G->adjlist[i].firstarc;      //采用头插法插入*p
                G->adjlist[i].firstarc=p;
            }
    G->n=g.n;
    G->e=g.e;
}

void ListToMat(ALGraph *G,MGraph &g)
//将邻接表G转换成邻接矩阵g
{
    int i,j;
    ArcNode *p;
    g.n=G->n;   //根据一楼同学“举报”改的。g.n未赋值，下面的初始化不起作用
    g.e=G->e;
    for (i=0; i<g.n; i++)   //先初始化邻接矩阵
        for (j=0; j<g.n; j++)
            g.edges[i][j]=0;
    for (i=0; i<G->n; i++)  //根据邻接表，为邻接矩阵赋值
    {
        p=G->adjlist[i].firstarc;
        while (p!=NULL)
        {
            g.edges[i][p->adjvex]=p->info;
            p=p->nextarc;
        }
    }
}

void DispMat(MGraph g)
//输出邻接矩阵g
{
    int i,j;
    for (i=0; i<g.n; i++)
    {
        for (j=0; j<g.n; j++)
            if (g.edges[i][j]==INF)
                printf("%3s","∞");
            else
                printf("%3d",g.edges[i][j]);
        printf("\n");
    }
}

void DispAdj(ALGraph *G)
//输出邻接表G
{
    int i;
    ArcNode *p;
    for (i=0; i<G->n; i++)
    {
        p=G->adjlist[i].firstarc;
        printf("%3d: ",i);
        while (p!=NULL)
        {
            printf("-->%d/%d ",p->adjvex,p->info);
            p=p->nextarc;
        }
        printf("\n");
    }
}

//编写main函数,进行相关测试
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "graph.h"
void Prim(MGraph g,int v)
{
    int lowcost[MAXV];          //顶点i是否在U中
    int min;
    int closest[MAXV],i,j,k;
    for (i=0; i<g.n; i++)           //给lowcost[]和closest[]置初值
    {
        lowcost[i]=g.edges[v][i];
        closest[i]=v;
    }
    for (i=1; i<g.n; i++)           //找出n-1个顶点
    {
        min=INF;
        for (j=0; j<g.n; j++)     //在(V-U)中找出离U最近的顶点k
            if (lowcost[j]!=0 && lowcost[j]<min)
            {
                min=lowcost[j];
                k=j;            //k记录最近顶点的编号
            }
        printf(" 边(%d,%d)权为:%d\n",closest[k],k,min);
        lowcost[k]=0;           //标记k已经加入U
        for (j=0; j<g.n; j++)       //修改数组lowcost和closest
            if (g.edges[k][j]!=0 && g.edges[k][j]<lowcost[j])
            {
                lowcost[j]=g.edges[k][j];
                closest[j]=k;
            }
    }
}
int main()
{
    MGraph g;
    int A[6][6]=
    {
        {0,6,1,5,INF,INF},
        {6,0,5,INF,3,INF},
        {1,5,0,5,6,4},
        {5,INF,5,0,INF,2},
        {INF,3,6,INF,0,6},
        {INF,INF,4,2,6,0}
    };
    ArrayToMat(A[0], 6, g);
    printf("最小生成树构成:\n");
    Prim(g,0);
    return 0;
}

输出结果:

我的学习心得:

以上代码取自老师的代码,而测试用图也是老师的一个环的简单图.

根据学习方案的问题,我又从新对下图进行了分析,以及将原先的A[6][6],从新改写为B[6][6]的邻接数组,并进行相关测试:

int main()
{
    MGraph g;
    int B[6][6]=
    {
        {0,10,INF,INF,19,21},
        {10,0,5,6,INF,11},
        {INF,5,0,6,INF,INF},
        {INF,6,6,0,18,14},
        {19,INF,INF,18,0,33},
        {21,11,INF,14,33,0}
    };
    ArrayToMat(B[0], 6, g);
    printf("最小生成树构成:\n");
    Prim(g,0);
    return 0;
}

输出结果:

普里姆算法知识点:

普里姆算法:
普里姆算法是一种构造性算法.假设G=(V,E)是一个具有n哥顶点的带权连通无向图,T=(U,TE)是G的最小生成树,其中U是T的顶点集,TE是T的边集,则由G构造从其实顶点v出发的最小生成树T的步骤如下:
(1)初始化U={v},以v到其他顶点的所有边为候选边;
(2)重复以下步骤(n-1)次,使得其他(n-1)哥顶点被加入到U中:
①从候选边中挑选权值最小的边加入TE,设该边在V-U中的顶点是k,将k加入U中;
②考察当前V-U中的所有顶点j,修改候选边,若边(k,j)的权值小于原来和顶点j关联的候选边,则用边(k,j)取代后者作为候选边.

以图一为例:

普里姆算法实现：
int lowcost[MAXV]；    //记录从u到u-v的边的最小劝值
在初始的时候，选中了U={0}，则0到编号为0的顶点的权值是0，到编号为1的顶点的权值为6，到1的权值为1，到3的权值为5，而到编号为4和5的权值无法直接到达，所以权值为∞，可以记录下U中的顶点到图中所有顶点的权值。


int closest[MAXV];     //记录最小权值的边对应的顶点
在初始的时候，记录下编号为1的顶点是由编号为0的顶点到达的，依次的0.1.2.3.4.5都是由0所到达的。


接下来的过程只需要将图的邻接矩阵给出，并依靠这两个数组即可完成添加工作。