2015-2016年第一学期第一周协会活动 二分搜索

二分搜索也叫折半搜索。它是一种高效的算法，应用广泛。下面通过一个例子来介绍二分搜索。

有序数列中查找某数

给出一个升序的整数数列 a0,a1,...,an−1 。问小于等于某个整数 k 的最大数的位置。为了简化问题我们假设这个数组中元素是两两不同的，并且数组中最小的数小于等于 k 。
当然我们可以使用朴素算法。

int search(int a[], int n, int k)
{
  for (int i = 0; i < n; i++)
    if (a[i] > k)
      return i - 1;
  return n - 1; // 所有数都小于等于 k
}

这个函数返回所求位置。时间复杂度是 O(n) 。
为了提高效率，我们可以考虑折半查找：我们假设要求的位置是 p 。先看看数组中间的元素（ am ）跟 k 的大小关系。
1. 如果 am>k ，那么所求的位置肯定不在 m 或者它之后。这个是因为 ap≤k 。
2. 如果 am≤k ，那么所求位置肯定不在 m 之前。这个是因为 ap 应该是小于等于 k 的最大数，而 am 比它之前的大。
我们仔细归纳一下发生了什么。一开始我们可以肯定 p∈[0,n) 。然后进行了上面的判断之后，如果 1 发生了，就可以肯定 p∈[0,m) ；如果 2 发生了，就可以肯定 p∈[m,n) 。总之，通过这次判断，我们把 p 可能在的位置区间缩小了一半。
那么我们对于这剩下的一半区间自然可以故技重施，使得区间再缩减一半。一直重复下去，我们可以肯定很快就可以使得‘有嫌疑’是答案的区间只剩下一个位置。那这个位置自然就是正确结果。

int binary_search(int a[], int n, int k)
{
  // [l, r) 是有嫌疑是答案的区间
  int l = 0;
  int r = n;
  for (; (r - l) > 1; ) { // 区间有多个元素时，就要继续循环
    // 这个循环体将嫌疑区间缩减至一半
    int m = (l + r) / 2; // 区间的中间位置
    if (a[m] > k)
      r = m; // 区间变为 [l, m)
    else l = m; // 区间变为 [m, r)
  }
  // 现在区间长度是 1，[l, r) 中只有一个位置 l
  return l;
}

容易发现这个算法的复杂度是 O(logn) ，是比朴素算法更优的。

二分搜索的本质

二分搜索是由上面这个问题引发的算法，但是勿思维僵化，认为二分搜索只是在一列数中查找数的算法。
这个问题的实质有两部分：
1. 答案可以确定在某个区间中
2. 可以通过某种判断将上述的区间缩减成一半。
在引入部分的题目里面，第二步是对中间的数与 k 比较。二分搜索的关键就是确定判断，这个良好的判断排除了一半的答案。
下面通过另一道题目介绍二分搜索更广泛的用法。

最小化最大值

将一个正整数序列 a1,a2,...,an 划分成 m(m≤n) 个子序列，并设 si 是第 i 段的和。对于使得 M(partition)=max(s1,s2,...,sn) 最小的划分方法，求 M 。
我们设命题 C(x): 可以划分原来的序列，使得 M≤x 。
我们考虑如果 C(x) 真，也就是说， M 还有点可能是更小的，比 x 大的答案不够优秀。
反之，也就是 M>x ，说明 x 太小了，答案一定比这个大。
我们首先可以估计一个答案所在的范围，不难发现答案肯定比 0 大，不大于所有数的和小。如果我们可以判断 C(x) ，那么我们就解决了这个问题。
要解决 C(x) ，应该认识到， x 越大，越难划分成较多的份数，同时，如果划分出了少于 m 的份数，自然可以通过再划分其中某些段使得出现划分成 m 段的划分法。所以 C(x) 其实等价于：每段最大值不超过 x 的情况下，可以划分的最少段数小于等于 m 。
上述的最小段数其实不难解决。我只要从数列头开始划分，直到这一段不能再多（再多的话和就会超过 x ），则划分出一段；在剩下的部分继续这样划分，就可以求出最小段数。
算法的总复杂度是 O(nlog(a1+a2+...+an)) 。
这个问题是二分搜索的经典题目。下面这道题跟我的描述几乎一样，请同学们通过这道题。
http://poj.org/problem?id=3273
下面给出另一个经典例题供大家思考，下次课的开始我们会讲这个题目。

最大化性价比

现有 n 种商品，每种商品有其价格 Pi 和 价值 Vi （都用正整数表达）。现在你要选择 k(k≤n) 个商品，使得性价比最高。
注：设选择的商品价格是 P1,P2,...,Pk ，价值分别是 V1,V2,...,Vk 。性价比指的是 ∑Vi∑Pi 。
另外，由于性价比不见得是整数，本题只需要你输出保留小数点后三位输出最高性价比。

本文作者

张静之