VIJOS 1477 跳动的水珠

提示：
1. 本题的暴力可以先写好备着 ， 总是有用的。
2. 看到T的范围 ， 我打赌跟快速幂有关……

详细题解和分析在代码后：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <deque>
#include <set>
#include <map>
#include <complex>
#include <climits>
#include <cassert>

using namespace std;
const int maxn = 120;
const int maxm = 102;
int modu;

typedef long long ll;
struct Matrix
{
    int n , m;
    int a[maxm][maxm];

    Matrix(int n=0 , int m=0){ this->n = n; this->m = m; memset(a , 0 , sizeof a); }

    int* operator [] ( int b ) { return a[b]; }
    Matrix operator *(Matrix b)
    {
        Matrix res(n , b.m);
        assert(m == b.n);

        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=b.m;j++) for(int k=1;k<=m;k++) (res[i][j] += a[i][k]*b[k][j]) %= modu;
        return res;
    }
};

Matrix powMatrix(Matrix a , int n)
{
    Matrix res;
    res.n = res.m = a.n;

    for(int i=1;i<=res.n;i++) res[i][i] = 1;

    while(n)
    {
        if(n&1) res = res*a;
        a = a*a;
        n >>= 1;
    }

    return res;
}

int n , m , x , p , t;
string d[maxn][maxn];

Matrix timeFly(Matrix a , int t)
{
    int b[maxn][maxn];
    for(int i=0;i<t;i++)
    {
        memset(b , 0 , sizeof b);
        for(int j=1;j<=n;j++) for(int k=1;k<=m;k++)
        {
            char c = d[j][k][i%d[j][k].size()];
            if(c == 'C') (b[j][k] += (x+a[j][k])%p) %= p;
            if(c == 'U') (b[j-1][k] += a[j][k]) %= p;
            if(c == 'D') (b[j+1][k] += a[j][k]) %= p;
            if(c == 'L') (b[j][k-1] += a[j][k]) %= p;
            if(c == 'R') (b[j][k+1] += a[j][k]) %= p;
        }

        for(int j=1;j<=n;j++) for(int k=1;k<=m;k++) a[j][k] = b[j][k];
    }
    return a;
}

void print(Matrix a)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1,k;j<=m;j=k)
        {
            for(k=j;k<=m && a[i][k] == a[i][j];k++);
            cout<<(k-j)<<" "<<a[i][j]<<(k>m?"\n":" ");
        }
    }
}

int id(int x , int y) { return (x-1)*m + y; }

__inline Matrix modifyTrans(Matrix a , Matrix b)
{
    Matrix res;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)if(a[i][j])
    {
        int x = (a[i][j]+m-1)/m , y = (a[i][j]%m==0)?m:a[i][j]%m;
        res[i][j] = b[x][y];
    }

    return res;
}

__inline Matrix modifyNow(Matrix a , Matrix b , Matrix c)
{
    Matrix res = c;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)if(b[i][j])
    {
        int x = (b[i][j]+m-1)/m , y = (b[i][j]%m==0)?m:b[i][j]%m;
        (res[x][y] += a[i][j]) %= modu;
    }

    return res;
}


int main()
{


    cin>>n>>m>>x>>p>>t;
    modu = p;

    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1,k;j<=m;j++) cin>>k>>d[i][j];
    //puts("OK");
    /*if(t <= 1e4) { print(timeFly(Matrix() , t)); return 0; } else */ 
    {
        //puts("OK");
        Matrix now = timeFly(Matrix() , 63) , res;

        Matrix trans(n , m);
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int x = i , y = j; bool ok = true;
            for(int k=0,nx,ny;k<63;k++) 
            {
                char c = d[x][y][k%d[x][y].size()];
                if(c == 'C') nx = x , ny = y;
                if(c == 'U') nx = x-1 , ny = y;
                if(c == 'D') nx = x+1 , ny = y;
                if(c == 'L') nx = x , ny = y-1;
                if(c == 'R') nx = x , ny = y+1;
                x = nx;
                y = ny;
                if(!x || x>n || !y || y>m) { ok = false; break; }
            }
            if(ok) trans[i][j] = id(x , y);
        }

        int req = t/63;
        while(req)
        {
            if(req&1) res = modifyNow(res , trans , now);
            now = modifyNow(now , trans , now);
            trans = modifyTrans(trans , trans);

            req >>= 1;
        }

        print(timeFly(res , t%63));
    }


    return 0;
}

题解：
看到Ｔ的范围，博主第一反应，矩阵快速幂？！然后啪啪啪写了一份矩阵的代码，仔细看了范围，貌似只能过８个点的样子。正解并不是用矩阵来加速而是通过一种类似倍增置换的方法，因为矩阵是多元关系的转化，浪费了巨多时间。

如果你仅仅构想出矩阵的解法，说明你没有发掘问题的特殊性，这玩意是个置换，所以并不需要用关系矩阵来体现问题的（也可以说是压缩了一个及其稀疏的矩阵），我们只需要用一个 n×m 的矩阵来记录置换关系，相乘其实就是置换的迭代，此时如果我们再记录一个新增的量的矩阵就可以啦。

具体来说，由于本题的条件，循环节最长是６３，于是我们可以暴力算出 Tmod63 的流动情况，然后我们重点要加速 T63 次循环的流动情况，我们记录两个转移矩阵，分别表示每个格子经过若干次后会到达哪里、经过若干次后每个格子上会新增多少量，即可。