Floyd算法(弗洛伊德算法) 百度百科

核心代码

for(int k=1; k<=NODE; ++k)//对于每一个中转点
    for(int i=0; i<=NODE; ++i)//枚举源点
        for(int j=0; j<=NODE; ++j)//枚举终点
            if(distmap[i][j]>distmap[i][k]+distmap[k][j])//不满足三角不等式
            {
                distmap[i][j]=distmap[i][k]+distmap[k][j];//更新
                path[i][j]=k;//记录路径
            }

状态转移方程

其 状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}；

map[i,j]表示i到j的最短距离，K是穷举 i,j的断点，map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。

当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有map[i,k]这条路。

时间复杂度与空间复杂度

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时间复杂度:O(n^3)；

空间复杂度:O(n^2) [1]  

优缺点分析

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Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths，多源最短路径)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次 Dijkstra算法，也要高于执行V次 SPFA算法。

优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。

缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

算法描述

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a)　初始化：D[u,v]=A[u,v]

b)　For k:=1 to n

For i:=1 to n

For j:=1 to n

If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then

D[i,j]:=D[i,k]+D[k,j];

c)　算法结束：D即为所有点对的最短路径矩阵

参考代码

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C语言

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define max 1000000000
int  d[1000][1000],path[1000][1000];
int  main()
{
int  i,j,k,m,n;
int  x,y,z;
scanf ( "%d%d" ,&n,&m);

for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++){
    d[i][j]=max;
    path[i][j]=j;
}

for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf ( "%d%d%d" ,&x,&y,&z);
d[x][y]=z;
d[y][x]=z;
}

for (k=1;k<=n;k++)
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++)
{
if (d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]){
    d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
    path[i][j]=path[i][k];
    }
}

for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=i;j++)
  if  (i!=j)  printf ( "%d->%d:%d\n" ,i,j,d[i][j]);

int  f,en;
scanf ( "%d%d" ,&f,&en);
while  (f!=en){
    printf ( "%d->" ,f);
    f=path[f][en];
}
printf ( "%d\n" ,en);

return  0;
}

C++语言

#include<iostream>
#include<vector>
using  namespace  std;
const  int  &INF=100000000;
void  floyd(vector<vector< int > > &distmap, //可被更新的邻接矩阵，更新后不能确定原有边
           vector<vector< int > > &path) //路径上到达该点的中转点
//福利：这个函数没有用除INF外的任何全局量，可以直接复制！
{
    const  int  &NODE=distmap.size(); //用邻接矩阵的大小传递顶点个数，减少参数传递
    path.assign(NODE,vector< int >(NODE,-1)); //初始化路径数组
    for ( int  k=1; k!=NODE; ++k) //对于每一个中转点
        for ( int  i=0; i!=NODE; ++i) //枚举源点
            for ( int  j=0; j!=NODE; ++j) //枚举终点
                if (distmap[i][j]>distmap[i][k]+distmap[k][j]) //不满足三角不等式
                {
                    distmap[i][j]=distmap[i][k]+distmap[k][j]; //更新
                    path[i][j]=k; //记录路径
                }
}
void  print( const  int  &beg, const  int  &end,
           const  vector<vector< int > > &path) //传引用，避免拷贝，不占用内存空间
           //也可以用栈结构先进后出的特性来代替函数递归
{
    if (path[beg][end]>=0)
    {
        print(beg,path[beg][end],path);
        print(path[beg][end],end,path);
    }
    else  cout<< "->" <<end;
}
int  main()
{
    int  n_num,e_num,beg,end; //含义见下
    cout<< "（不处理负权回路）输入点数、边数：" ;
    cin>>n_num>>e_num;
    vector<vector< int > > path,
          distmap(n_num,vector< int >(n_num,INF)); //默认初始化邻接矩阵
    for ( int  i=0,p,q; i!=e_num; ++i)
    {
        cout<< "输入第" <<i+1<< "条边的起点、终点、长度（100000000代表无穷大，不联通）：" ;
        cin>>p>>q;
        cin>>distmap[p][q];
    }
    floyd(distmap,path);
    cout<< "计算完毕，可以开始查询，请输入出发点和终点：" ;
    cin>>beg>>end;
    cout<< "最短距离为" <<distmap[beg][end]<< "，打印路径：" <<beg;
    print(beg,end,path);
}