时间序列分析及应用 R语言 读书笔记 02

第二章 基本概念

Yt 代表时间序列t时刻的值

自协方差函数 γt,s

γt,s=cov(Yt,Ys)=E[(Yt−μt)(Ys−μs)]=E(YtYs)−μtμs

自相关函数

ρt,s=corr(YtYs)=cov(YtYs)Var(Yt)Var(Ys)−−−−−−−−−−−−−√=γt,sγt,tγs,s−−−−−√

当 ρ 接近 ±1 时说明相关性强，接近0则说明基本不相关

随机游动 random walk

假设 e1,e2...et 是均值为为0，方差为 σ2 ，独立同分布的数列
假设时间序列Yt为下式：

则 μt=0,Var(Yt)=tσ2
可以看到这里方差是随时间逐渐加大的
其自协方差和自相关系数为(t<=s)：


由于e是独立同分布的所以
γt,s=tσ2

滑动平均

再次利用上面的{e}来构造一个例子

Yt=et+et−12

这就是滑动平均了
他的自协方差和自相关系数有以下性质：

书里有详细的证明，这里不再赘述。
这里可以看出， Yt 的自相关系数在间隔k个单位时都是相同的即对任意t，下式相同

ρt,t−k

平稳性

平稳性是一个重要的概念，它的基本思想是：
序列的特性，不再随着时间的变化而变化。
表现为时间间隔前后的 Yt,Yt−k 有相同的分布。
对于多元函数则是时间间隔k前后的联合分布相同。
为简便起见以后可能会有以下符号：

γk=cov(Yt,Yt−k),ρk=corr(Yt,Yt−k)

对于平稳的条件，书中给出了一个数学上更弱一点的平稳的条件：
1. 均值在所有时间上恒为常数
2. γt,t−k=γ0,k
以后指的平稳若没有特殊说明，都是这个弱平稳。

书中可以证明：对于上面的序列{e}是一个平稳的序列（也叫白噪声），滑动平均也是一个平稳的序列，但是随机漫步不是一个平稳序列。
但是如果将随即漫步差分：
▽Yt=Yt−Yt−1=et 就变成了稳定的序列