matlab求解微分方程

如何用matlab来求解简单的微分方程?举例来说明吧。

  • 求解三阶常微分方程。我们知道,求解高阶常微分方程可以化为求解一阶常微分方程组。编写函数eq3.m:
%解常微分方程 3*y'''+5*y''+6*sin(t)*y=cost
function ydot = eq3(t,y) 
ydot=[y(2);y(3);(cos(t)-5*y(3)-6*sin(t)*y(1))/3]; 

其中,ydot为一个列向量,值分别表示y‘(1)、y‘(2)、y‘(3)的取值,t自因变量,y为因变量,一个y就可以表示因变量组了。事实上,说白了,这个函数就是申明一下变量使t和y,以及y一阶导的右端项为那三个。
接着,编写主函数如下:

%解常微分方程 3*y'''+5*y''+6*sin(t)*y=cost [t23,y23]=ode23(@eq3,[0,5],[0,1,3]) 

[0,5]表示自变量(这里是t)取值范围,[0,1,3]表示初始条件,也就是 y0y0y′′0 ,计算出来的结果又三列数,分别表示 yyy′′ 在[0,5]中的取值。如图:
matlab求解微分方程_第1张图片

  • 二阶常微分方程
    编写函数eq2.m
function ydot= eq2(t,y)
ydot=[y(2);-3-cos(2*t) + 2*sin(t)+t-3.8]; 

主函数

clc
clear
[t,y]=ode23('eq2',[0,20],[0,1]); 
plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.')

matlab求解微分方程_第2张图片

  • 求解微分方程,以上matlab内部用的是欧拉折现法,或者是单步法的改进,得不到一个解析解。那么如何求带初值问题的解析解呢?如下:
y=dsolve('D3y-D2y=x','y(1)=8,Dy(1)=7,D2y(1)=4','x') 

一目了然,就不多解释了。

  • 方程组解析解,以及带初始条件的解析解。
clc,clear
equ1='D2f+3*g=sin(x)'; 
equ2='Dg+Df=cos(x)'; 
[general_f,general_g]=dsolve(equ1,equ2,'x') 
[f,g]=dsolve(equ1,equ2,'Df(2)=0,f(3)=3,g(5)=1','x') 
  • 非其次线性方程组:

编写vdp1.m

function dy=vdp1(t,y); 
dy=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; 

主函数:

[T,Y]=ode45('vdp1',[0 20],[2;0]); 
%观察结果。利用plot输出解的结果:
plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'--') 
title('Solution of van der Pol Equation,mu=1');
xlabel('time t'); 
ylabel('solution y'); 
legend('y1','y2');

绘图:
matlab求解微分方程_第3张图片
- 求解高阶微分方程
1、编写F.m函数,并保存

 function dy=F(t,y);
dy=[y(2);y(3);3*y(3)+y(2)*y(1)];

2、主函数

[T,Y]=ode45('F',[0 1],[0;1;-1]) %求解y'''-3y'-yy'=0 y(0)=0 y'(0)=1 y''(0)=-1
  • 求无初始条件的微分方程的解析通解各项
clc
clear
syms x y 
diff_equ='x^2+y+(x-2*y)*Dy=0'; 
dsolve(diff_equ,'x') 
%求无初始条件的微分方程的解析通解各项
好吧,就说这么多了。这里介绍的是matlab内置的算法,知道原理自己动手编也是很快的啦。

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