蓄水池抽样算法

随机抽样问题表示如下：

要求从N个元素中随机的抽取k个元素，其中N无法确定。

这种应用的场景一般是数据流的情况下，由于数据只能被读取一次，而且数据量很大，并不能全部保存，因此数据量N是无法在抽样开始时确定的；但又要保持随机性，于是有了这个问题。所以搜索网站有时候会问这样的问题。

这里的核心问题就是“随机”，怎么才能是随机的抽取元素呢？我们设想，买彩票的时候，由于所有彩票的中奖概率都是一样的，所以我们才是“随机的”买彩票。那么要使抽取数据也随机，必须使每一个数据被抽样出来的概率都一样。

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【分析】

“给出一个数据流，这个数据流的长度很大或者未知。并且对该数据流中数据只能访问一次。请写出一个随机选择算法，使得数据流中所有数据被选中的概率相等。”

当面对这样一个问题的时候，我们首先应该做的是：镇静。你的面试官并没有玩你，相反他可能特别想雇你。他可能正在为无尽的分析请求烦恼，他的ETL流水线已经不在工作，已有的机器学习模型也不再适合。他正想要你这样一个聪明人进来帮忙，他希望你答出来。

第二件要做的事情是：不要在没有深入思考的情况下盲目作答。假设你的面试官读过Daniel Tunkelang的关于数据工程师的面试建议，那么这个面试题很可能就是他工作中实际遇到的问题。所以如果像下面一样随便回答，很可能会令你的面试官失望。

“我会首先将输入存到一个列表中，统计出数据流中数据的个数，在读取结束之后随机选取一个”（大哥， 你没看见题目已经说了，数据流长度很大或者未知么，不怕你的内存装不下？）

第三件要做的事情是：从小例子开始分析。大部分的人都更容易解决具体问题（而不是抽象问题），最开始你设计的小例子可能和最后的问题之间相去甚远，但是却能启发你对问题的理解，给你灵感。

 

蓄水池算法

如前面所说，对这个问题我们首先从最简单的例子出发：数据流只有一个数据。我们接收数据，发现数据流结束了，直接返回该数据，该数据返回的概率为1。看来很简单，那么我们试试难一点的情况：假设数据流里有两个数据。

我们读到了第一个数据，这次我们不能直接返回该数据，因为数据流没有结束。我们继续读取第二个数据，发现数据流结束了。因此我们只要保证以相同的概率返回第一个或者第二个数据就可以满足题目要求。因此我们生成一个0到1的随机数R,如果R小于0.5我们就返回第一个数据，如果R大于0.5，返回第二个数据。

接着我们继续分析有三个数据的数据流的情况。为了方便，我们按顺序给流中的数据命名为1、2、3。我们陆续收到了数据1、2和前面的例子一样，我们只能保存一个数据，所以必须淘汰1和2中的一个。应该如何淘汰呢？不妨和上面例子一样，我们按照二分之一的概率淘汰一个，例如我们淘汰了2。继续读取流中的数据3，发现数据流结束了，我们知道在长度为3的数据流中，如果返回数据3的概率为1/3,那么才有可能保证选择的正确性。也就是说，目前我们手里有1,3两个数据，我们通过一次随机选择，以1/3的概率留下数据3，以2/3的概率留下数据1.那么数据1被最终留下的概率是多少呢？

• 数据1被留下：（1/2）*(2/3) = 1/3
• 数据2被留下概率：（1/2）*(2/3) = 1/3
• 数据3被留下概率：1/3

这个方法可以满足题目要求，所有数据被留下返回的概率一样！

因此，我们做一下推论：假设当前正要读取第n个数据，则我们以1/n的概率留下该数据，否则留下前n-1个数据中的一个。以这种方法选择，所有数据流中数据被选择的概率一样。简短的证明：假设n-1时候成立，即前n-1个数据被返回的概率都是1/n-1,当前正在读取第n个数据，以1/n的概率返回它。那么前n-1个数据中数据被返回的概率为：(1/(n-1))*((n-1)/n)= 1/n，假设成立。

这就是所谓的蓄水池抽样算法。它在分析一些大数据集的时候非常有用。你可以在这里找到Greg写的关于蓄水池抽样的算法介绍。本文后面会介绍一下在Cloudera ML中使用的两种：分布式蓄水池抽样和加权分布式蓄水池抽样。

转自：数据工程师必知算法：蓄水池抽样

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【证明：】

其伪代码如下：

Init : a reservoir with the size： k
        for    i= k+1 to N
            M=random(1, i);
            if( M < k)
                 SWAP the Mth value and ith value
       end for

解释一下：程序的开始就是把前k个元素都放到水库中，然后对之后的第i个元素，以k/i的概率替换掉这个水库中的某一个元素。

下面来具体证明一下：每个水库中的元素出现概率都是相等的。

【证明】

（1）初始情况。出现在水库中的k个元素的出现概率都是一致的，都是1。这个很显然。

（2）第一步。第一步就是指，处理第k+1个元素的情况。分两种情况：元素全部都没有被替换；其中某个元素被第k+1个元素替换掉。

我们先看情况2：第k+1个元素被选中的概率是k/(k+1)（根据公式k/i），所以这个新元素在水库中出现的概率就一定是k/(k+1)（不管它替换掉哪个元素，反正肯定它是以这个概率出现在水库中）。下面来看水库中剩余的元素出现的概率，也就是1-P(这个元素被替换掉的概率)。水库中任意一个元素被替换掉的概率是：(k/k+1)*(1/k)=1/(k+1)，意即首先要第k+1个元素被选中，然后自己在集合的k个元素中被选中。那它出现的概率就是1-1/(k+1)=k/(k+1)。可以看出来，旧元素和新元素出现的概率是相等的。

情况1：当元素全部都没有替换掉的时候，每个元素的出现概率肯定是一样的，这很显然。但具体是多少呢？就是1-P(第k+1个元素被选中)=1-k/(k+1)=1/(k+1)。

（3）归纳法：重复上面的过程，只要证明第i步到第i+1步，所有元素出现的概率是相等的即可。参见：http://wansishuang.javaeye.com/blog/443902

上文来自：http://blog.csdn.net/liushu1231/article/details/19979919