[HEOI2013] 钙铁锌硒维生素

Description

给定 2N 个行向量 A1,…,AN,B1,…,BN ，需要设计一种替换方案， Ai 被 Bj 替换 (i∈[1,N],j∈[N+1,2N]) ，每个 j 只能用一次。要求是，每一个 Ai 被对应的 Bj 替换后， Ak(1≤k≤N) 间线性无关。并要求方案的字典序最小。

Announcement

本人线性相关知识有限，本文仅作定性分析。

Analysis

后面提到的 A,B,C 将是 N×N 的矩阵，其中 A 是 N 个 Ai ， B 也同理。

S 集合

首先题目应该是要求了 A 必须是线性无关，不然就输出不合法（题意交代不清）。

然后对于每个 Bj ， A 中只能有一个最小集合 S ，满足 S 线性无关，但加入 Bj 后 S 将线性相关。

因为若有两个或以上的集合，不管是否有交集， A 将不会线性无关。

建图

我们将要求出对于每个 Bj 的相应集合 S ，然后显然 Bj 能替换的只能是 S 中的某个 Ai 。设 C×A=B ，则若 CTi,j≠0 ，则 Bj 的 S 中含 Ai ，道理是因为 ∑Ci,j×Aj,k=Bi,k ，而 Aj,k,Bi,k 都是行向量。

至于怎么求 C 呢，我们可以求出 A 的逆矩阵 A−1 ，则有 C=B×A−1 。

字典序最小

建好图后，要使得字典序最小，我们先跑一次完美匹配，然后枚举每个 Ai ，强制其选 Bj ，即把两个点在匹配中禁止走，然后看原来选 Bj 的点能否跑出增广路。

时间复杂度

求逆矩阵是 N3 的，生成方案也是 N3 的。
所以本题是 O(N3) 。