CodeVS1513 皇帝的烦恼

http://codevs.cn/problem/1513/

题意：n个集合围成一圈，已知第i个集合有Ai个元素，且任意相邻两集合的交集为空集，求所有集合的并集的最小元素数。

如果是n个集合围成一排那会非常简单，答案就是每相邻两个Ai之和的最大值，但是这种算法显然不适用于环。

观察数据范围我们容易想到这是O(nlogn)的题目，又因为是求最小元素数，可以考虑使用二分。

二分答案，然后根据相邻关系依次递推出每个集合与第1个集合的交集大小的范围，设第i个集合与第1个集合的交集大小在[pi,qi]内。

显然有p1=q1=A1，另设i=j+1当前答案为m，则推理知p[i]应该取max{0,A1+Ai+Aj-qj-m}，q[i]应取min{Ai,A1-pj}。

最后若pn=0则说明该答案是可行的，否则该答案是不可行的，继续二分即可。

另外可以证明，最终答案一定介于s和2s之间，其中s为相邻两项之和的最大值。

代码：

uses math;
var a,p,q:array[1..20003]of longint;
n,i,s,l,r,m:longint;
begin
readln(n);
s:=0;
for i:=1 to n do readln(a[i]); s:=s+a[i];
for i:=2 to n do s:=max(a[i]+a[i-1],s);
p[1]:=a[1];
q[1]:=a[1];
l:=s;
r:=s*2;
repeat
m:=(l+r)>>1;
for i:=2 to n do
begin
p[i]:=max(0,a[1]+a[i-1]+a[i]-q[i-1]-m);
q[i]:=min(a[i],a[1]-p[i-1]);
end;
if p[n]=0 then r:=m else l:=m+1;
until l>=r;
writeln(r);
end.