欧几里德与扩展欧几里德算法

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

算法的实现：

最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}

代码可优化如下：

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

当然你也可以用迭代形式：

int Gcd(int a, int b)
{
    while(b != 0)
    {
    　　int r = b;
    　　b = a % b;
    　　a = r;
    }
    return a;
}

扩展欧几里德算法

扩展的欧几里得算法用于计算满足形如a*x+b*y=c 的方程的解

首先，我们需要先判断这个方程有没有解
对于形如a*x+b*y=c 的方程，有解的条件是c是a和b最大公约数的倍数
即c = n*gcd(a, b)(n > 0)
关于然后计算gcd(a, b)，上面有说明，这里不再赘述

在判定有解之后，我们需要计算出一组满足条件的(x, y)，由于a, b, c都是gcd(a, b)的整数倍，我们可以将它们都缩小gcd(a, b)倍，即A=a/gcd(a,b), B=b/gcd(a,b), C=c/gcd(a,b);
化简为A*x+B*y=C，而且gcd(A, B) == 1
此时，我们可以先求A*x+B*y=1的解(x’, y’)，然后将其扩大C倍，最后要求的解就是(x, y)=(C*x’， C*y’)
接下来就是研究如何解A*x+B*y=1

假设A>B>0，我们设

A*x[1]+B*y[1]=gcd(A, B);
B*x[2]+(A mod B)*y[2]=gcd(B, A mod B)

已知gcd(A, B)==gcd(B, A mod B)

   A * x[1] + B * y[1] = B * x[2] + (A mod B) * y[2]
=>  A * x[1] + B * y[1] = B * x[2] + (A - kB) * y[2]    // A = kB + r
=>  A * x[1] + B * y[1] = A * y[2] + B * x[2] - kB * y[2]
=>  A * x[1] + B * y[1] = A * y[2] + B * (x[2] - ky[2])
=>  x[1] = y[2], y[1] = (x[2] - ky[2])

利用这个性质，我们可以递归的去求解(x,y)。
其终止条件为gcd(A, B)=B，此时对应的(x,y)=(0,1)
对应代码如下

pair<long long, long long > extend_gcd(long long a, long long b){
    pair<long long, long long> tmp;
    if (a%b == 0){
        return pair<long long , long long>(0, 1);
    }
    tmp = extend_gcd(b, a%b);
    long long tmp_x = tmp.first, tmp_y = tmp.second;
    x = tmp_y;
    y = tmp_x-(a/b)*tmp_y;
    return pair<long long , long long>(x, y);
}

这样我们就能求出一组满足条件的解(x, y)
但如果要保证x是最小非负数，我们又该需要怎么做呢
如果那样的话，我们需要将(A,B,x’,y’)扩充为一个解系。
由于A B是互质的，所以可以将A*x’+B*y’=1扩展为：

   Ax'+By'+(u+(-u))AB=1
=>  (x' + uB)*A + (y' - uA)*B = 1
=>  X = x' + uB, Y = y' - uA    

可以求得最小的X为(x’+uB) mod B，(x’+uB>0)
同时我们还需要将X扩大C倍，因此最后解为：
x = (x'*C') mod B'
若x<0，则不断累加B，直到x>0为止。
总体代码如下

long long solve(long long s1, long long s2, long long v1, long long v2, long long m){
    long long a = v1-v2;
    long long b = m;
    long long c = s2-s1;
    if (a < 0){
        a += m;
    }
    long long d = gcd(a, b);
    if (c%d){
        return -1;
    }
    a /= d;
    b /= d;
    c /= d;
    pair<long long, long long > tmp = extend_gcd(a, b);
    long long x = tmp.first;
    x = (x*c)%b;
    while(x < 0)    x += b;
    return x;
}

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;
long long x, y;
long long gcd(long long a, long long b){
    if (!b) return a;
    return gcd(b, a%b);
}
pair<long long, long long > extend_gcd(long long a, long long b){
    pair<long long, long long> tmp;
    if (a%b == 0){
        return pair<long long , long long>(0, 1);
    }
    tmp = extend_gcd(b, a%b);
    long long tmp_x = tmp.first, tmp_y = tmp.second;
    x = tmp_y;
    y = tmp_x-(a/b)*tmp_y;
    return pair<long long , long long>(x, y);
}
long long solve(long long s1, long long s2, long long v1, long long v2, long long m){
    long long a = v1-v2;
    long long b = m;
    long long c = s2-s1;
    if (a < 0){
        a += m;
    }
    long long d = gcd(a, b);
    if (c%d){
        return -1;
    }
    a /= d;
    b /= d;
    c /= d;
    pair<long long, long long > tmp = extend_gcd(a, b);
    long long x = tmp.first;
    x = (x*c)%b;
    while(x < 0)    x += b;
    return x;
}

int main(){
    long long s1, s2, v1, v2, m, k;
    //s1+v1*t=s2+v2*t-k*m
    cin >> s1 >> s2 >> v1 >> v2 >> m;
    cout << solve(s1, s2, v1, v2, m);
    return 0;
}