解题报告：POJ 1091 跳蚤 数论/扩展欧几里德+容斥原理

跳蚤

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Description

Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。
比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后，显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

Input

两个整数N和M(N <= 15 , M <= 100000000)。

Output

可以完成任务的卡片数。

Sample Input

2 4

Sample Output

12

Hint

这12张卡片分别是：
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)

Source

HNOI 2001

类型：数论<扩展欧几里德+容斥原理>

 

思路：

这题挺不错的，综合的运用扩展欧几里德和容斥原理，不懂的最好先自行百度理解一下。

红色标记的便是主要的难点，理解了这题基本就没有什么问题了。

首先若想往前跳一步，由扩展欧几里德知识可知满足下列条件：

Gcd(x1,x2,x3,x4…xn,m)=1

所以答案就是所有的卡片最大公因数为1的种类数目，但是这样不好实现，于是我们考虑用所有的组合数M^N减去最大公因子不为1的卡片组合数。

而最大公因子不为1的卡片组合数的计算就涉及到容斥原理：

最大公因子不为1的卡片组合数 = 素公因个数为奇数个数的组合数目 - 素公因数个数为偶数个数的组合数目。

 

AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
/**ANS=用所有的组合数-素因子为奇数个的集合+素因子为偶数个的集合**/
int P[100],k,n,m,A[100];
long long num;
long long Pow(int x,int n)
{
    long long y=1;
    while(n--)
        y*=x;
    return y;
}

void findprime(int x)//找出所有素因子存入Prime数组
{
    k=0;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            P[k++]=i;
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x>1)
        P[k++]=x;
}

void dfs(int a,int b,int c)//找出素因子个数为c个所有情况，b为已经确定的个数，a为初始寻找数，用A数组存储找到的数
{
    if(b==c)//当找完c个公因数数时，确定有多少个包含这几个公因数的数
    {
        int x=m;
        for(int i=0;i<c;i++)
            x/=A[i];
        num+=Pow(x,n);
        //printf("num=%I64d\n",num);
    }
    else
    {
        for(int i=a;i<k;i++)
        {
            A[b]=P[i];
            //printf("A[%d]=%d\n",b,A[b]);
            dfs(i+1,b+1,c);
        }
    }
}


int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
    {
        findprime(m);
        long long ans=Pow(m,n);
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            num=0;
            dfs(0,0,i);
            if(i%2) ans-=num;
            else    ans+=num;
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}