catalan数与stirling数学习笔记（上）

（上）catalan数

先直接看看这个数列：（从第0项开始）1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

然后是递推式：

然后是通项公式：

这些东西要记住也不难，但是到底这个catalan数有什么卵用呢？

貌似组合数学中很多组合结构都能直接利用catalan数，我们先来看一些例子吧：

• C _n表示所有包含 n组括号的合法运算式的个数: ((())) ()(()) ()()() (())() (()()) 。
• C _n表示有 n个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中， n等于 3，圆形表示节点，月牙形表示什么都没有。
• C _n表示有 2n+1个节点组成不同构满二叉树（full binary tree）的方案数。下图中， n等于 3，圆形表示内部节点，月牙形表示外部节点。本质同上。

等等等等很多类似的问题（我就不全复制过来了）通过一定的逻辑上的转化都可以归结为一类问题：有进有出，先进后出的总方案数（说白了就是个栈）

那么问题来了，为什么这类问题的答案就是catalan数呢？看我再贴个证明

证明：

令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有个，下面考虑不满足要求的数目。

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而。证毕。

卧槽复制的时候看看觉得眼熟才发现原来以前在书上看到过（扶额）

然后我们当然也要知道怎么求的啦，说说求大catalan数的两种情况：

1. 取模：筛质因数后统计各质数的指数神奇地绕过了除法求取模catalan数（反正我是给自己看的 我自己都快看不懂了）简单来说就是 将通项公式上下进行质因数分解，删掉相同的质因数，最后乘出来就行了。然后就用bzoj1485测了下就过了。
2. 不取模：当然就是要写高精度了_(:3 」∠)_，不过貌似也可以用上面的方法来绕过除法吧，就可以少写个除法高精度了_(:3 」∠)_，还没写，过段时间再回来测= =，顺便贴个网址 http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/08/122674.html

catalan数就到这里了，大部分都是贴维基的啦。还剩下stirling数，本来想一次写完的，我还是先去睡觉好了，改成分上下篇就好。。。