关于算法复杂度O(n/1+n/2+...+n/n)~O(nlogn)的证明

前言

在做算法题中，我们会经常分析到 O(n1+n2+…+nn) 的复杂度，然后我们都知道这个式子是等价于 O(nlogn) 的。在筛素数、字符串连续重复子串等很多算法中都有用到，用处之广，性能之优。今天不妨来证明下这个等价式。

O(n1+n2+…+nn) ~ O(nlogn)

分析

要证明 O(n1+n2+…+nn) ~ O(nlogn) ，只需证 O(1+12+…+1n) ~ O(lnn) ——式子1.

为了证明式子1，需要证明4个定理：

1. 确界存在定理

2. 单调有界数列必定收敛

3. 数列 {(1+1n)n} 单调增加， {(1+1n)n+1} 单调减少，两者收敛于同一极限

4. bn=1+12+…+1n−lnn 收敛

确界存在定理——实数系连续性定理

描述：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

证明：百度百科关于确界存在定理

单调有界数列必定收敛

描述：单调递增且有上界数列必定收敛，单调递减且有下界数列必定收敛

证明：

不妨设数列 {xn} 单调增加且有上界，根据确界存在定理，由 {xn} 构成的数集必有上确界 β ，满足：

(1) ∀n∈N+:xn≤β;

(2) ∀ϵ>0,∃xn0:xn0>β−ϵ。

取 N=n0 ， ∀n>N:β−ϵ<xn0≤xn≤β ，因而 {xn−β}<ϵ ，于是得到 limn→∞xn=β

当数列单调递减且有下界时，同理。

数列 {(1+1n)n} 单调增加， {(1+1n)n+1} 单调减少，两者收敛于同一极限

证明：

记 xn={(1+1n)n} ， yn={(1+1n)n+1} ，利用平均不等式 a1a2…an‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√n≤a1+a2+…+ann 得到

xn={(1+1n)n}⋅1≤[n(1+1n)+1n+1]n+1=xn+1

1yn=(nn+1)n+1⋅1≤[(n+1)nn+1+1n+2]n+2=1yn+1

这表示 {xn} 单调增加，而 {yn} 单调减少。又由于 2=x1≤xn<yn≤y1=4 ，可知数列 {xn} ， {yn} 都收敛（单调有界数列必收敛）。

因为 yn=xn(1+1n) ，所以它们具有相同的极限。习惯上用字母 e 来表示这一极限，即 limn→∞(1+1n)n=limn→∞(1+1n+1)n=e

e=2.718 281 828 459⋯ 是一个无理数。以 e 为底的对数称为自然对数，通常即为 lnx(=logex) 。

bn=1+12+…+1n−lnn 收敛

证明：

由上一定理可知， (1+1n)n<e<(1+1n)n+1 ，由此得到 1n+1<lnn+1n<1n 。于是有：

bn+1−bn=1n+1−ln(n+1)+lnn=1n+1−lnn+1n<0

bn=1+12+13+…+1n−lnn>ln21+ln32+ln43+…+lnn+1n−lnn=ln(n+1)−lnn>0

这说明数列 {bn} 单调减少且有下界，从而收敛。（单调有界数列必收敛）

总结

通过以上四个定理证明了数列 bn=1+12+…+1n−lnn 收敛，表示 1+12+…+1n 则与 lnn 同阶，因此可知 O(n1+n2+…+nn) ~ O(nlogn)

以后可能会附上用此公式的算法题目 … （待续）