第三讲 多重背包问题 HD 2191 悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在，感恩生活
悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在，感恩生活
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Problem Description
急！灾区的食物依然短缺！
为了挽救灾区同胞的生命，心系灾区同胞的你准备自己采购一些粮食支援灾区，现在假设你一共有资金n元，而市场有m种大米，每种大米都是袋装产品，其价格不等，并且只能整袋购买。
请问：你用有限的资金最多能采购多少公斤粮食呢？
后记：
人生是一个充满了变数的生命过程，天灾、人祸、病痛是我们生命历程中不可预知的威胁。
月有阴晴圆缺，人有旦夕祸福，未来对于我们而言是一个未知数。那么，我们要做的就应该是珍惜现在，感恩生活——
感谢父母，他们给予我们生命，抚养我们成人；
感谢老师，他们授给我们知识，教我们做人
感谢朋友，他们让我们感受到世界的温暖；
感谢对手，他们令我们不断进取、努力。
同样，我们也要感谢痛苦与艰辛带给我们的财富～
为了挽救灾区同胞的生命，心系灾区同胞的你准备自己采购一些粮食支援灾区，现在假设你一共有资金n元，而市场有m种大米，每种大米都是袋装产品，其价格不等，并且只能整袋购买。
请问：你用有限的资金最多能采购多少公斤粮食呢？
后记：
人生是一个充满了变数的生命过程，天灾、人祸、病痛是我们生命历程中不可预知的威胁。
月有阴晴圆缺，人有旦夕祸福，未来对于我们而言是一个未知数。那么，我们要做的就应该是珍惜现在，感恩生活——
感谢父母，他们给予我们生命，抚养我们成人；
感谢老师，他们授给我们知识，教我们做人
感谢朋友，他们让我们感受到世界的温暖；
感谢对手，他们令我们不断进取、努力。
同样，我们也要感谢痛苦与艰辛带给我们的财富～
Input
输入数据首先包含一个正整数C，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数n和m(1<=n<=100, 1<=m<=100),分别表示经费的金额和大米的种类，然后是m行数据，每行包含3个数p，h和c(1<=p<=20,1<=h<=200,1<=c<=20)，分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数。
Output
对于每组测试数据，请输出能够购买大米的最多重量，你可以假设经费买不光所有的大米，并且经费你可以不用完。每个实例的输出占一行。
Sample Input
1 8 2 2 100 4 4 100 2
Sample Output
400
基本算法
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}
复杂度是O(V*Σn[i])。
将这个 多重背包问题转化为 完全背包问题，也就是每个物品都有无限个，但是在循环过程中用一个数组记录：某种硬币i使用的次数，如果使用次数超过c［i]，则停止循环。恩，大意如此，时间复杂度就是O(n*m)，终于AC。
O(V*Σn[i])算法：
#include<iostream>//c++
#include<cmath>//数学公式
#include<cstdlib>//malloc
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>//输入输出
#include<algorithm>//快排
#include<queue>//队列
#include<functional>//优先队列
#include<stack>//栈
#include<vector>//容器
#include<map>//地图 if continue
typedef long long ll;
const int N=105;
using namespace std;
int label[N];
int dp[N];
int main()
{
// freopen("C:\\Users\\ch\\Desktop\\1.txt","r",stdin);
//freopen("C:\\Users\\lenovo\\Desktop\\2.txt","w",stdout);
int i,j,k;
int v,n,text;
int a,b,c;
cin>>text;
while(text--)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
cin>>v>>n;
for(i=0;i<n;i++)
{
cin>>a>>b>>c;//a->v b->w c->n
for(k=0;k<c;k++)
for(j=v;j>=a;j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-a]+b);
}
cout<<dp[v]<<endl;
}
return 0;
}
O(V*Σlog count[i])写法（二进制优化）
#include<iostream>//c++
#include<cmath>//数学公式
#include<cstdlib>//malloc
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>//输入输出
#include<algorithm>//快排
#include<queue>//队列
#include<functional>//优先队列
#include<stack>//栈
#include<vector>//容器
#include<map>//地图 if continue
typedef long long ll;
const int N=105;
using namespace std;
int label[N];
int dp[N];
int main()
{
// freopen("C:\\Users\\ch\\Desktop\\1.txt","r",stdin);
//freopen("C:\\Users\\lenovo\\Desktop\\2.txt","w",stdout);
int i,j,k;
int v,n,text;
int a,b,c;
cin>>text;
while(text--)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
cin>>v>>n;
for(i=0;i<n;i++)
{
cin>>a>>b>>c;//a->v b->w c->n
for(k=1;k*2<1+c;k*=2)//1 2 4 8
for(j=v;j>=a*k;j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*a]+k*b);
k = c + 1 - k;
for(j=v;j>=a*k;j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*a]+k*b);
}
cout<<dp[v]<<endl;
}
return 0;
}
最优的O(VN)的算法：（个人思想，还有待改进，你可以玩玩）
#include<iostream>//c++
#include<cmath>//数学公式
#include<cstdlib>//malloc
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>//输入输出
#include<algorithm>//快排
#include<queue>//队列
#include<functional>//优先队列
#include<stack>//栈
#include<vector>//容器
#include<map>//地图 if continue
typedef long long ll;
const int N=105;
using namespace std;
int label[N];
int dp[N];
typedef struct
{
int a,b,c;
double d;
}G;G g[105];
bool cmp(G a,G b)
{
return a.d>b.d;
}
int main()
{
// freopen("C:\\Users\\ch\\Desktop\\1.txt","r",stdin);
<span style="white-space:pre"> </span>//freopen("C:\\Users\\lenovo\\Desktop\\2.txt","w",stdout);
<span style="white-space:pre"> </span>int i,j,k;
<span style="white-space:pre"> </span>int v,n,text;
int a,b,c;
cin>>text;
while(text--)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
cin>>v>>n;
for(i=0;i<n;i++) cin>>g[i].a>>g[i].b>>g[i].c,g[i].d=1.0*g[i].b/g[i].a;//a->v b->w c->n
sort(g,g+n,cmp);//排 序
int ans=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
memset(label,0,sizeof(label));
for(j=g[i].a;j<=v;j++)
if(label[j-g[i].a]<g[i].c)
{
if(dp[j]<dp[j-g[i].a]+g[i].b)
{
dp[j]=dp[j-g[i].a]+g[i].b;
label[j]=label[j-g[i].a]+1;
ans=max(dp[j],ans);
}
}
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
例题：http://poj.org/problem?id=1742
AC代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
bool can_pay[100005];
int use_ai[100005];
int Ai[105], Ci[105];
int n, m, ans;
int coins();
int main()
{
int i;
while(scanf("%d%d", &n, &m), n || m)
{
memset(can_pay, false, sizeof(can_pay));
can_pay[0] = true;
for(i = 0; i < n; ++i)
scanf("%d", &Ai[i]);
for(i = 0; i < n; ++i)
scanf("%d", &Ci[i]);
coins();
}
return 0;
}
int coins()
{
int i, j;
ans = 0;
for(i = 0; i < n; ++i)
{
memset(use_ai, 0, sizeof(use_ai));
for(j = Ai[i]; j <= m; ++j)
{
if(!can_pay[j] && can_pay[j - Ai[i]] && use_ai[j - Ai[i]] < Ci[i])
{
can_pay[j] = true;
use_ai[j] = use_ai[j - Ai[i]] + 1;
++ans;
}
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}