Nim博弈变形(anti-nim)

这种题与以往的博弈题的胜负条件不同，谁先走完最后一步谁输，但他也是一类Nim游戏，即为anti-nim游戏。

首先给出结论：先手胜当且仅当 ①所有堆石子数都为1且游戏的SG值为0（即有偶数个孤单堆-每堆只有1个石子数）；②存在某堆石子数大于1且游戏的SG值不为0.

证明：

若所有堆都为1且SG值为0，则共有偶数堆石子，故先手胜。 
i)只有一堆石子数大于1时，我们总可以对该石子操作，使操作后堆数为奇数且所有堆的石子数均为1； 

ii)有超过一堆的石子数1时，先手将SG值变为0即可，且总还存在某堆石子数大于1 

因为先手胜。

此题用到的概念：

【定义1】：若一堆中仅有一个石子，则被称为孤单堆。若大于1个，则称为充裕堆。

【定义2】：T态中，若充裕堆的堆数大于等于2，则称为完全利他态，用T2表示；若充裕堆的堆数等于0，则称为部分利他态。用T0表示。

孤单堆的根数异或智慧影响二进制的最后以为，但充裕堆会影响高位（非最后一位）。一个充裕堆，高位必有一位不为0，则所有根数异或不为0。故不会是T态。

【定理1】：S0态，即仅有奇数个孤单堆，必败。T0态必胜。

证明：S0态，其实就是每次只能取一根。每次第奇数根都由自己取，第偶数根都由对方取，所以最后一根必由自己取。所以必败。同理：T0态必胜。

【定理2】：S1态，只要方法正确，必胜。

证明：若此时孤单堆堆数为奇数，把充裕堆取完；否则，取成一根。这样，就变成奇数个孤单堆，由对方取。由定理1，对方必输，己必胜。

【定理3】：S2态不可转一次变为T0态。

证明：充裕堆数不可能一次由2变为0。

【定理4】：S2态可一次转变为T2态。

证明：因为对于任何一个S态，总能从一堆中取出若干个使之成为T态。又因为S1态，只要方法正确，必胜。S2态不可转一次变为T0态，所以转变的T态为T2态。

【定理5】：T2态，只能转变为S2态或S1态。

证明：因为T态，取任何一堆的若干根都将成为S态。由于充裕堆不可能一次由2变为0，所以此时的S态不可能为S0态。得证。

【定理6】：S2态，只要方法正确，必胜。

证明：方法如下：

S2态，就把它变为T2态。（定理4）； 
对方只能T2转变为S2态或S1态（定理5）。 

若转变为S2，则转向①。 

若转变为S1，这时己必胜（定理1）。 

【定理7】：T2态必输。

证明：同定理6.

综上所述：必输态有：T2、S0；必胜态有：S2、S1、T0。

模板：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int i,n,m;
    while(cin >> n)
    {
              int flag = 0; //判断是否是孤单堆
              int s = 0;
              for(i = 0;i < n;i++) 
              {
                    cin >> m;
                    s ^= m;
                    if(m > 1) 
                         flag = 1;
              }
              if(flag == 0)
                      if(n % 2)
                           cout << "No\n";
                      else
                           cout << "Yes\n";
              else
                  if(s == 0)
                      cout << "No" <<endl;
                  else
                      cout << "Yes" <<endl;
    }
    return 0;
}