编程之美-程序改错及扩展问题

原文的大意是这样的，要求写一个二分查找算法，并且当要查找的数出现不止一次时，返回最后那个数的下标。然后给你一段有错的代码，请你改。

这段有错的代码是这样的（我作了简化）：

 /* b和e是查找区间的两端，v是要找的数 */
 int bsearch(int a[], int b, int e, int v)
 {
     int l = b;
     int u = e;
     while (l < u) {
         int m = (l + u) / 2;
         if (a[m] <= v)   l = m;
         else        u = m – 1;
     }
     return a[u]==v? u:-1;
 }

文中指出了代码中的错误，一是第7行(l+u)可能溢出，二是当程序运行到l=u-1时，计算出的m就与l相等，如果这时不幸地第8行的条件成立，那么就会进入死循环，因为这次迭代没有改变l和u的值，无论再迭代多少遍也不会了。

        这两点分析都很正确，但接下来作者给出的修改版本，不仅完全不是在上面代码的基础上改，而且给出的代码逻辑复杂、混乱，缺乏一致性。

        下面我将分析上面这段有错代码，给出自己的修改，然后再分析作者给出的版本。

        上面代码的思想是清晰的，维护一个循环不变式：如果要找的数存在的话，它下标一定在区间[ l , u ]中，然后通过迭代，不断缩小区间，直到退化成一个点，最后检测这个点是不是目标值。循环体中对不变式的维护都没有错。问题就是怎样避免第8行的把m直接赋给l。题目要求返回最后一个满足的数，所以在循环体中，当检测到相等时，一不能立刻就返回，二不能缩减区间的后半段。要维护这样一个不变式，这个赋值在所难免。我能想到的唯一的办法就是，当l=u-1时，就退出循环，然后先后检查此时的a[u]和a[l]。

        所以我的修改是这样的：

 int bsearch(int a[], int b, int e, int v)
 {
         int l = b;
     int u = e;
     while (l < u -1) {
         int m = l + (u – l) * 0.5;//原来的/2并没错，但*0.5可以减少CPU时钟周期
         if (a[m] <= v)   l = m;
         else        u = m – 1;
     ｝
     if (a[u] == v)          return u;
     else if (a[l] == v) return l;
     else return -1;

接下来，我要分析一下作者的修改，他的代码大意是这样的：

 int bsearch(int a[], int b, int e, int v)
 {
     int l = b;
     int u = e;
     //循环结束有两种情况：
     //若l为偶数则l＝＝u
     //否则，l＝＝u－1
     while (l < u -1) {
         int m = l + (u – l)/ 2;
         if (a[m] <= v)   l = m;
         else {
             //不需要m－1，防止l＝＝u  为什么呢？不明白
             u = m;
         }
     ｝
     if （a[u] == v)  return u;   //先判断序号最大的值
     else if(a[l] == v)  return l;
     else    return -1;
 }

我们先无视注释，我完全搞不懂注释，文中也不解释清楚。从循环体的if-else语句判断，他要维护的不变式是考察区间[l, u)，注意是“左闭右开”，要找的数下标一定在这个区间内，如果存在的话。而看他对区间端点的赋初值，u=e，把a[e]给排除在外了。那要找的数就是a[e]怎么办呢？他有这条语句把关呢，if (a[u] == v) return u;后面还十分堂皇地加了注释。其实如果初值正确的话，只需要检测a[l]即可，因为a[u]这个值根本不在我们要考察的区间里。

        所以我对作者的版本的改法是：

 int bsearch(int a[], int b, int e, int v)
 {
     int l = b;
     int u = e＋1;  //有改动
     while (l < u -1) {
         int m = l + (u – l)* 0.5;
         if (a[m] <= v)   l = m;
         else    u = m;
     ｝
     return a[l]==v? l:-1;  //有改动
 }