匹配极其相关问题（一）

简介：
匹配问题是图论中一类非常经典的问题，最经典、常见的有二分图最大匹配和二分图最大权匹配，分别可以使用匈牙利算法与KM算法较高效解决。另外，匹配问题通常与支配集、覆盖集、独立集相关联，我们可以通过转化问题，将这些问题转化成匹配问题后套用算法解决。下面先介绍一些基本概念。

基本概念：
匹配问题通常与支配集、覆盖集、独立集等问题相关，下面分别介绍五个基本概念。
1、点支配集：
对无向图G=(V, E)，如果存在一个顶点集合V*，满足任意V-V*中的顶点都与至少V*中一个顶点有边连接，则称V*为G的一个点支配集。支配集中顶点v与对应补集中顶点u相连，则称v支配u。
极小支配集：任何真子集都不是点支配集的点支配集；
最小支配集：顶点数最小的点支配集；
点支配数：最小支配集中顶点个数。
2、点覆盖集：
对无向图G=(V, E)，如果存在一个顶点集合V*，满足任意E中的边都与至少V*中一个顶点关联，则称V*为G的一个点覆盖集（点覆盖）。点覆盖中顶点v与边e相关联，则称v覆盖e。
极小点覆盖：任何真子集都不是点覆盖集的点覆盖集；
最小点覆盖：顶点数最小的点覆盖集；
点覆盖数：最小点覆盖中顶点个数。
3、点独立集：
对无向图G=(V, E)，如果存在一个顶点集合V*，满足V*中任意两个顶点都互不相连，则称V*为G的一个点独立集（点独立）。
极大点独立：任何真子集都不是点独立集的点独立集；
最大点独立：顶点数最大的点独立集；
点独立数：最大点独立中顶点个数。
4、边覆盖集：
对无向图G=(V, E)，如果存在一个边集合E*，满足任意V中的顶点都与至少E*中一条边关联，则称E*为G的一个边覆盖集（边覆盖）。边覆盖中边e与顶点v相关联，则称e覆盖v。
极小边覆盖：任何真子集都不是边覆盖集的边覆盖集；
最小边覆盖：顶点数最小的边覆盖集；
边覆盖数：最小边覆盖中边数量。
5、边独立集：
对无向图G=(V, E)，如果存在一个顶点集合E*，满足E*中任意两条边都互不相邻，则称E*为G的一个边独立集（边独立）。边独立也是我们经常说的匹配。
极大边独立：任何真子集都不是边独立集的边独立集；（极大匹配）
最大边独立：顶点数最大的边独立集；（最大匹配）
边独立数：最大边独立中边数量。（匹配数）

基本定理：
上面所说的五个基本概念，两两之间有一些特定数值上的规律，通过下面一些定理来描述。（N为顶点总数，边独立数即匹配数）
定理1：无向图中，无孤立点，点覆盖数+点独立数=N
定理2：无向图中，无孤立点，边覆盖数+边独立数=N
定理3：二分图中，无孤立点，点覆盖数=边独立数
定理4：二分图中，无孤立点，点独立数=边覆盖数=N-边独立数
若存在M个孤立点，上述定理3、4在顶点数N扣除M后成立。
定理5：无向图中，极大点独立集即极小支配集（逆命题不成立）
定理6：无向图中，无孤立点，V*是点覆盖当且仅当V-V*是独立集
定理7：无向图中，无孤立点，
1）若M为G的一个最大匹配，对于G中M的每个未覆盖点v，选取一条与v相关联的边所组成的边的集合为N，则W=M∪N为G的最小边覆盖；
2）若W为G的一个最小边覆盖，若W中存在相邻的边就移去一条，设移去的边集为N，则M=W-N为G中一个最大匹配。
定理8：无向图中，无孤立点，最小点覆盖集与最大点独立集互补。

总结：
点支配集、点覆盖集和点独立集的求解其实是NP问题，只能通过穷举算法来解决，而这种算法只适用与数据范围小的情况。边覆盖集和边独立集（匹配）的求解可以通过匈牙利算法并结合定理7、8实现算法扩展，根据定理3、4，我们可以通过边覆盖数与边独立数计算点支配数、点覆盖数和点独立数。