01背包问题

2015/5/9 背包问题——“01背包”详解及实现（包含背包中具体物品的求解） - wumuzi520的专栏 - 博客频道 - CSDN.NET
data:text/html;charset=utf-8,%3Cp%20align%3D%22right%22%20style%3D%22margin%3A%200px%3B%20padding%3A%200px%3B%20color%… 1/6
­­­­­Edit by ZhuSenlin HDU
01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为C1，C2，…，Cn，与之相对
应的价值为W1,W2，…，Wn.求解将那些物品装入背包可使总价值最大。
动态规划（DP）2015/5/9 背包问题——“01背包”详解及实现（包含背包中具体物品的求解） - wumuzi520的专栏 - 博客频道 - CSDN.NET
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­­­­­Edit by ZhuSenlin HDU
01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为C1，C2，…，Cn，与之相对
应的价值为W1,W2，…，Wn.求解将那些物品装入背包可使总价值最大。
动态规划（DP）：
1） 子问题定义：F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。
2） 根据第i件物品放或不放进行决策
(1­1)
其中F[i­1][j]表示前i­1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值；
而F[i­1][j­C[i]]+W[i]表示前i­1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j­C[i]的背包中所能取得的最大价值加
上第i件物品的价值。
根据第i件物品放或是不放确定遍历到第i件物品时的状态F[i][j]。
设物品件数为N，背包容量为V，第i件物品体积为C[i]，第i件物品价值为W[i]。
由此写出伪代码如下：
[cpp]
01. F[0][] ← {0}
02.
03. F[][0] ← {0}
04.
05. for i←1 to N
06.
07. do for k←1 to V
08.
09. F[i][k] ← F[i­1][k]
10.
11. if(k >= C[i])
12.
13. then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i­1][k­C[i]]+W[i])
14.
15. return F[N][V]
以上伪代码数组均为基于1索引，及第一件物品索引为1。时间及空间复杂度均为O(VN)
举例：表1­1为一个背包问题数据表，设背包容量为10根据上述解决方法可得到对应的F[i][j]如表1­2所示，
最大价值即为F[6][10].
表1­1背包问题数据表
物品
号i
12345 6
体积
C
23146 5
价值
W
5651197
表1­2前i件物品选若干件放入空间为j的背包中得到的最大价值表
0123 4 5 6 7 8 9 10
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2015/5/9 背包问题——“01背包”详解及实现（包含背包中具体物品的求解）
00000 0 0 0 0 0 0 0
10055 5 5 5 5 5 5 5
20566 11111111111111
30551011111616161616
40551011111616161617
50551011111924242930
60551011111924242930
很多文章讲背包问题时只是把最大价值求出来了，并没有把所选的是哪些物品找出来。本人在学习背包问
题之前遇到过很多的类似问题，当时也是只求得了最大价值或最大和，对具体哪些物品或路径等细节也束手无
策。再次和大家一起分享细节的求法。
根据算法求出的最大价值表本身其实含有位置信息，从F[N][V]逆着走向F[0][0]，设i=N,j=V，如果F[i]
[j]==F[i­1][j­C[i]]+W[i]说明包里面有第i件物品，同时j ­= C[i]，不管F[i][j]与F[i­1][j­C[i]]+W[i]相不相等i都要减1，
因为01背包的第i件物品要么放要么不放，不管放还是不放其已经遍历过了，需要继续往下遍历。
打印背包内物品的伪代码如下：
[cpp]
01. i←N
02.
03. j←V
04.
05. while(i>0 && j>0)
06.
07. do if(F[i][j]=F[i­1][j­C[i]]+W[i])
08.
09. then Print W[i]
10.
11. j←j­C[i]
12.
13. i←i­1
当然也可以定义一个二维数组Path[N][V]来存放背包内物品信息，开始时Path[N][V]初始化为0,当 F[i]
[j]==F[i­1][j­C[i]]+W[i]时Path[i][j]置1。最后通过从Path[N+1][V+1]逆着走向Path[0][0]来获取背包内物品。其中
Path[0][]与Path[][0]为边界。
加入路径信息的伪代码如下：
[cpp]
01. F[0][] ← {0}
02.
03. F[][0] ← {0}
04.
05. Path[][] ← 0
06.
07. for i←1 to N
08.
09. do for k←1 to V
10.
11. F[i][k] ← F[i­1][k]
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12.
13. if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i­1][k­C[i]]+W[i])
14.
15. then F[i][k] ← F[i­1][k­C[i]]+W[i]
16.
17. Path[i][k] ← 1
18.
19. return F[N][V] and Path[][]
打印背包内物品的伪代码如下：
[cpp]
01. i←N
02.
03. j←V
04.
05. while(i>0 && j>0)
06.
07. do if(Path[i][j] = 1)
08.
09. then Print W[i]
10.
11. j←j­C[i]
12.
13. i←i­1
在时间及空间复杂度均为O(NV)的情况下，利用Path[][]的方法明显比直接通过F[i][j]==F[i­1][j­C[i]]+W[i]来打印
物品耗费空间，Path[][]需要额外的空间O(NV)但总空间复杂度不变仍为O(NV)。但下面要讲到的O(V)的空间复
杂度的方法却不能利用关系式F [j]==F [j­C[i]]+W[i]而只能利用Path[][]进行标记.
接下来考虑如何压缩空间，以降低空间复杂度。
时间复杂度为O(VN)，空间复杂度将为O（V）
观察伪代码可也发现，F[i][j]只与F[i­1][j]和F[i­1][j­C[i]]有关，即只和i­1时刻状态有关，所以我们只需要用一
维数组F[]来保存i­1时的状态F[]。假设i­1时刻的F[]为{a0，a1，a2，…，av}，难么i时刻的F[]中第k个应该为
max(ak,ak­C[i]+W[i])即max(F[k],F[k­C[i]]+W[i])，这就需要我们遍历V时逆序遍历，这样才能保证求i时刻F[k]时
F[k­C[i]]是i­1时刻的值。如果正序遍历则当求F[k]时其前面的F[0],F[1]，…，F[K­1]都已经改变过，里面存的都
不是i­1时刻的值，这样求F[k]时利用F[K­C[i]]必定是错的值。最后F[V]即为最大价值。
求F[j]的状态方程如下：
(1­2)
伪代码如下：
[cpp]
01. F[] ← {0}
02.
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03. for i ← 1 to N
04.
05. do for k ← V to C[i]
06.
07. F[k] ← max(F[k],F[k­C[i]]+W[i])
08.
09. return F[V]
同样，怎么求路径？
利用前面讲到的Path[][]标记，需空间消耗O(NV)。这里不能用F [j]==F [j­C[i]]+W[i]来判断是因为一维数组
并不能提供足够的信息来寻找二维路径。
加入路径信息的伪代码如下：
[cpp]
01. F[] ← {0}
02.
03. Path[][]←0
04.
05. for i←1 to N
06.
07. do for k←V to C[i]
08.
09. if(F[k] < F[k­C[i]]+W[i])
10.
11. then F[k] ← F[k­C[i]]+W[i]
12.
13. Path[i][k] ← 1
14.
15. return F[V] and Path[][]
打印路径的伪代码和前面未压缩空间复杂度时的伪代码一样，这里不再重写。
下面针对前面提到的表1­1提供两种方法的测试代码：
[cpp]
01. #include <iostream>
02. #include <cstring>
03. #include "CreateArray.h" //该头文件用于动态创建及销毁二维数组，读者自己实现
04. using namespace std;
//时间复杂度O(VN),空间复杂度为O(VN)
[cpp]
01. int Package01(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)
02. {
03. int** Table = NULL;
04. int** Path = NULL;
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05. CreateTwoDimArray(Table,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组
06. CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组
07.
08. for(int i = 1; i <= nLen; i++)
09. {
10. for(int j = 1; j <= nCapacity; j++)
11. {
12. Table[i][j] = Table[i­1][j];
13. Path[i][j] = 0;
14. if(j >= Weight[i­1] && Table[i][j] < Table[i­1][j­Weight[i­
1]]+Value[i­1])
15. {
16. Table[i][j] = Table[i­1][j­Weight[i­1]]+Value[i­1];
17. Path[i][j] = 1;
18. }
19. }
20. }
21.
22. int i = nLen, j = nCapacity;
23. while(i > 0 && j > 0)
24. {
25. if(Path[i][j] == 1)
26. {
27. cout << Weight[i­1] << " ";
28. j ­= Weight[i­1];
29. }
30. i­­;
31. }
32. cout << endl;
33.
34. int nRet = Table[nLen][nCapacity];
35. DestroyTwoDimArray(Table,nLen+1); //销毁二维数组
36. DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1); //销毁二维数组
37. return nRet;
38. }
//时间复杂度O(VN)，不考虑路径空间复杂度为O(V)，考虑路径空间复杂度为O(VN)
[cpp]
01. int Package01_Compress(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)
02. {
03. int * Table = new int [nCapacity+1];
04. memset(Table,0,(nCapacity+1)*sizeof(int));
05. int** Path = 0;
06. CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组
07.
08. for(int i = 0; i < nLen; i++)
09. {
10. for(int j = nCapacity; j >= Weight[i]; j­­)
11. {
12. Path[i+1][j] = 0;
13. if(Table[j] < Table[j­Weight[i]]+Value[i])
14. {
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15. Table[j] = Table[j­Weight[i]]+Value[i];
16. Path[i+1][j] = 1;
17. }
18. }
19. }
20.
21. int i = nLen, j = nCapacity;
22. while(i > 0 && j > 0)
23. {
24. if(Path[i][j] == 1)
25. {
26. cout << Weight[i­1] << " ";
27. j ­= Weight[i­1];
28. }
29.
30. i­­;
31. }
32. cout << endl;
33.
34. int nRet = Table[nCapacity];
35. DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1); //销毁二维数组
36. delete [] Table;
37. return nRet;
38. }
测试代码
[cpp]
01. int main()
02. {
03. int Weight[] = {2,3,1,4,6,5};
04. int Value[] = {5,6,5,1,19,7};
05. int nCapacity = 10;
06. cout << Package01(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;
07. cout << Package01_Compress(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;
08. return 0;
09. }
本文部分内容参考“背包九讲”
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：
1） 子问题定义：F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。
2） 根据第i件物品放或不放进行决策
(1­1)
其中F[i­1][j]表示前i­1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值；
而F[i­1][j­C[i]]+W[i]表示前i­1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j­C[i]的背包中所能取得的最大价值加
上第i件物品的价值。
根据第i件物品放或是不放确定遍历到第i件物品时的状态F[i][j]。
设物品件数为N，背包容量为V，第i件物品体积为C[i]，第i件物品价值为W[i]。
由此写出伪代码如下：
[cpp]
01. F[0][] ← {0}
02.
03. F[][0] ← {0}
04.
05. for i←1 to N
06.
07. do for k←1 to V
08.
09. F[i][k] ← F[i­1][k]
10.
11. if(k >= C[i])
12.
13. then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i­1][k­C[i]]+W[i])
14.
15. return F[N][V]
以上伪代码数组均为基于1索引，及第一件物品索引为1。时间及空间复杂度均为O(VN)
举例：表1­1为一个背包问题数据表，设背包容量为10根据上述解决方法可得到对应的F[i][j]如表1­2所示，
最大价值即为F[6][10].
表1­1背包问题数据表
物品
号i
12345 6
体积
C
23146 5
价值
W
5651197
表1­2前i件物品选若干件放入空间为j的背包中得到的最大价值表
0123 4 5 6 7 8 9 10
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00000 0 0 0 0 0 0 0
10055 5 5 5 5 5 5 5
20566 11111111111111
30551011111616161616
40551011111616161617
50551011111924242930
60551011111924242930
很多文章讲背包问题时只是把最大价值求出来了，并没有把所选的是哪些物品找出来。本人在学习背包问
题之前遇到过很多的类似问题，当时也是只求得了最大价值或最大和，对具体哪些物品或路径等细节也束手无
策。再次和大家一起分享细节的求法。
根据算法求出的最大价值表本身其实含有位置信息，从F[N][V]逆着走向F[0][0]，设i=N,j=V，如果F[i]
[j]==F[i­1][j­C[i]]+W[i]说明包里面有第i件物品，同时j ­= C[i]，不管F[i][j]与F[i­1][j­C[i]]+W[i]相不相等i都要减1，
因为01背包的第i件物品要么放要么不放，不管放还是不放其已经遍历过了，需要继续往下遍历。
打印背包内物品的伪代码如下：
[cpp]
01. i←N
02.
03. j←V
04.
05. while(i>0 && j>0)
06.
07. do if(F[i][j]=F[i­1][j­C[i]]+W[i])
08.
09. then Print W[i]
10.
11. j←j­C[i]
12.
13. i←i­1
当然也可以定义一个二维数组Path[N][V]来存放背包内物品信息，开始时Path[N][V]初始化为0,当 F[i]
[j]==F[i­1][j­C[i]]+W[i]时Path[i][j]置1。最后通过从Path[N+1][V+1]逆着走向Path[0][0]来获取背包内物品。其中
Path[0][]与Path[][0]为边界。
加入路径信息的伪代码如下：
[cpp]
01. F[0][] ← {0}
02.
03. F[][0] ← {0}
04.
05. Path[][] ← 0
06.
07. for i←1 to N
08.
09. do for k←1 to V
10.
11. F[i][k] ← F[i­1][k]
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12.
13. if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i­1][k­C[i]]+W[i])
14.
15. then F[i][k] ← F[i­1][k­C[i]]+W[i]
16.
17. Path[i][k] ← 1
18.
19. return F[N][V] and Path[][]
打印背包内物品的伪代码如下：
[cpp]
01. i←N
02.
03. j←V
04.
05. while(i>0 && j>0)
06.
07. do if(Path[i][j] = 1)
08.
09. then Print W[i]
10.
11. j←j­C[i]
12.
13. i←i­1
在时间及空间复杂度均为O(NV)的情况下，利用Path[][]的方法明显比直接通过F[i][j]==F[i­1][j­C[i]]+W[i]来打印
物品耗费空间，Path[][]需要额外的空间O(NV)但总空间复杂度不变仍为O(NV)。但下面要讲到的O(V)的空间复
杂度的方法却不能利用关系式F [j]==F [j­C[i]]+W[i]而只能利用Path[][]进行标记.
接下来考虑如何压缩空间，以降低空间复杂度。
时间复杂度为O(VN)，空间复杂度将为O（V）
观察伪代码可也发现，F[i][j]只与F[i­1][j]和F[i­1][j­C[i]]有关，即只和i­1时刻状态有关，所以我们只需要用一
维数组F[]来保存i­1时的状态F[]。假设i­1时刻的F[]为{a0，a1，a2，…，av}，难么i时刻的F[]中第k个应该为
max(ak,ak­C[i]+W[i])即max(F[k],F[k­C[i]]+W[i])，这就需要我们遍历V时逆序遍历，这样才能保证求i时刻F[k]时
F[k­C[i]]是i­1时刻的值。如果正序遍历则当求F[k]时其前面的F[0],F[1]，…，F[K­1]都已经改变过，里面存的都
不是i­1时刻的值，这样求F[k]时利用F[K­C[i]]必定是错的值。最后F[V]即为最大价值。
求F[j]的状态方程如下：
(1­2)
伪代码如下：
[cpp]
01. F[] ← {0}
02.
无法加载插件。
无法加载插件。
2015/5/9 背包问题——“01背包”详解及实现（包含背包中具体物品的求解） - wumuzi520的专栏 - 博客频道 - CSDN.NET
data:text/html;charset=utf-8,%3Cp%20align%3D%22right%22%20style%3D%22margin%3A%200px%3B%20padding%3A%200px%3B%20color%… 4/6
03. for i ← 1 to N
04.
05. do for k ← V to C[i]
06.
07. F[k] ← max(F[k],F[k­C[i]]+W[i])
08.
09. return F[V]
同样，怎么求路径？
利用前面讲到的Path[][]标记，需空间消耗O(NV)。这里不能用F [j]==F [j­C[i]]+W[i]来判断是因为一维数组
并不能提供足够的信息来寻找二维路径。
加入路径信息的伪代码如下：
[cpp]
01. F[] ← {0}
02.
03. Path[][]←0
04.
05. for i←1 to N
06.
07. do for k←V to C[i]
08.
09. if(F[k] < F[k­C[i]]+W[i])
10.
11. then F[k] ← F[k­C[i]]+W[i]
12.
13. Path[i][k] ← 1
14.
15. return F[V] and Path[][]
打印路径的伪代码和前面未压缩空间复杂度时的伪代码一样，这里不再重写。
下面针对前面提到的表1­1提供两种方法的测试代码：
[cpp]
01. #include <iostream>
02. #include <cstring>
03. #include "CreateArray.h" //该头文件用于动态创建及销毁二维数组，读者自己实现
04. using namespace std;
//时间复杂度O(VN),空间复杂度为O(VN)
[cpp]
01. int Package01(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)
02. {
03. int** Table = NULL;
04. int** Path = NUll‘
2015/5/9 背包问题——“01背包”详解及实现（包含背包中具体物品的求解） - wumuzi520的专栏 - 博客频道 - CSDN.NET
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05. CreateTwoDimArray(Table,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组
06. CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组
07.
08. for(int i = 1; i <= nLen; i++)
09. {
10. for(int j = 1; j <= nCapacity; j++)
11. {
12. Table[i][j] = Table[i­1][j];
13. Path[i][j] = 0;
14. if(j >= Weight[i­1] && Table[i][j] < Table[i­1][j­Weight[i­
1]]+Value[i­1])
15. {
16. Table[i][j] = Table[i­1][j­Weight[i­1]]+Value[i­1];
17. Path[i][j] = 1;
18. }
19. }
20. }
21.
22. int i = nLen, j = nCapacity;
23. while(i > 0 && j > 0)
24. {
25. if(Path[i][j] == 1)
26. {
27. cout << Weight[i­1] << " ";
28. j ­= Weight[i­1];
29. }
30. i­­;
31. }
32. cout << endl;
33.
34. int nRet = Table[nLen][nCapacity];
35. DestroyTwoDimArray(Table,nLen+1); //销毁二维数组
36. DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1); //销毁二维数组
37. return nRet;
38. }
//时间复杂度O(VN)，不考虑路径空间复杂度为O(V)，考虑路径空间复杂度为O(VN)
[cpp]
01. int Package01_Compress(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)
02. {
03. int * Table = new int [nCapacity+1];
04. memset(Table,0,(nCapacity+1)*sizeof(int));
05. int** Path = 0;
06. CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组
07.
08. for(int i = 0; i < nLen; i++)
09. {
10. for(int j = nCapacity; j >= Weight[i]; j­­)
11. {
12. Path[i+1][j] = 0;
13. if(Table[j] < Table[j­Weight[i]]+Value[i])
14. {
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2015/5/9 背包问题——“01背包”详解及实现（包含背包中具体物品的求解） - wumuzi520的专栏 - 博客频道 - CSDN.NET
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15. Table[j] = Table[j­Weight[i]]+Value[i];
16. Path[i+1][j] = 1;
17. }
18. }
19. }
20.
21. int i = nLen, j = nCapacity;
22. while(i > 0 && j > 0)
23. {
24. if(Path[i][j] == 1)
25. {
26. cout << Weight[i­1] << " ";
27. j ­= Weight[i­1];
28. }
29.
30. i­­;
31. }
32. cout << endl;
33.
34. int nRet = Table[nCapacity];
35. DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1); //销毁二维数组
36. delete [] Table;
37. return nRet;
38. }
测试代码
[cpp]
01. int main()
02. {
03. int Weight[] = {2,3,1,4,6,5};
04. int Value[] = {5,6,5,1,19,7};
05. int nCapacity = 10;
06. cout << Package01(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;
07. cout << Package01_Compress(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;
08. return 0;
09. }
本文部分内容参考“背包九讲”
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