约瑟夫环

题目描述

约瑟夫问题是一个非常著名的趣题,即由n个人坐成一圈,按顺时针由1开始给他们编号。然后由第一个人开始报数,数到m的人出局。现在需要求的是最后一个出局的人的编号。

给定两个int nm,代表游戏的人数。请返回最后一个出局的人的编号。保证n和m小于等于1000。

测试样例:
5 3

返回:4

思路:

把n个人的编号改为0~n-1,然后对删除的过程进行分析。
第一个删除的数字是(m-1)%n,几位k,则剩余的编号为(0,1,...,k-1,k+1,...,n-1),下次开始删除时,顺序为(k+1,...,n-1,0,1,...k-1)。
用f(n,m)表示从(0~n-1)开始删除后的最终结果。
用q(n-1,m)表示从(k+1,...,n-1,0,1,...k-1)开始删除后的最终结果。
则f(n,m)=q(n-1,m)。

下面把(k+1,...,n-1,0,1,...k-1)转换为(0~n-2)的形式,即
k+1对应0
k+2对于1
...
k-1对应n-2
转化函数设为p(x)=(x-k-1)%n, p(x)的你函数为p^(x)=(x+k+1)%n。
则f(n,m)=q(n-1,m)=p^(f(n-1,m))=(f(n-1,m)+k+1)%n,又因为k=(m-1)%n。
f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n;

最终的递推关系式为
f(1,m) = 0;                        (n=1)
f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n; (n>1)


代码:

class Joseph {
public:
    int getResult(int n, int m) {
        // write code here
        if (n < 0 || m < 0) {
            return -1;
        }
        int last = 0;
        for(int i=2;i<=n;++i){
            last = (last+m)%i;
        }
        // 因为实际编号为(1~n)
        return (last+1);
    
    }
};


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