有向图强连通分量的Tarjan算法

强连通分量问题通常可归纳为要求出强连通分量，然后通过缩点（将得出的每个连通分量视为一个点，然后继续构图，例如连通分量A有一个点有一条边指向连通分量B的一个点，那么在A上搭一条边到B，其他连通分量也以此类推）。求图的强连通分量一个算法为tarjan，在http://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan/这博客中对tarjan的算法描述得非常的详细。我这里转载方便自己以后看

[有向图强连通分量]

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

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 Low(u)=Min
 {
     DFN(u),
     Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点
     DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
 }

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法伪代码如下

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 tarjan(u)
 {
     DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 为节点u设定次序编号和Low初值
     Stack.push(u)                              // 将节点u压入栈中
     for each (u, v) in E                       // 枚举每一条边
         if (v is not visted)               // 如果节点v未被访问过
             tarjan(v)                  // 继续向下找
             Low[u] = min(Low[u], Low[v])
         else if (v in S)                   // 如果节点v还在栈内
             Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
     if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根
         repeat
             v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
             print v
         until (u== v)
 }

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

附：tarjan算法的C++程序

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 void tarjan(int i)
 {
     int j;
     DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
     instack[i]=true;
     Stap[++Stop]=i;
     for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
     {
         j=e->t;
         if (!DFN[j])
         {
             tarjan(j);
             if (LOW[j]<LOW[i])
                 LOW[i]=LOW[j];
         }
         else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
             LOW[i]=DFN[j];
     }
     if (DFN[i]==LOW[i])
     {
         Bcnt++;
         do
         {
             j=Stap[Stop--];
             instack[j]=false;
             Belong[j]=Bcnt;
         }
         while (j!=i);
     }
 }
 void solve()
 {
     int i;
     Stop=Bcnt=Dindex=0;
     memset(DFN,0,sizeof(DFN));
     for (i=1;i<=N;i++)
         if (!DFN[i])
             tarjan(i);
 }

强连通分量题目

poj1236 问题一是问最少给几个学校发文件能让所有学校都能经过传阅能阅读这个文件，其实就是求出强连通分量后缩点后入度为0的点的个数。因为只有入度为0的强连通分量中的学校无法经过其他点的传阅得到文件。第二问题问要最少增加几条边使得给任一个学校发文件经过传阅其他学校都能共享这个文件。这其实就是求缩点后的图的入度为0的点的个数与出度为0的个数中的较大者。（这里要注意的时候当只有一个点的时候入度出度都为0，但却不需要搭边）代码：

 #include<iostream>
 using namespace std;
 const int M = 105;
 struct node
 {
     int to;
     node *next;
 };
 node *g[M];
 int N,Stop,Bcnt,Dindex;
 int DFN[M],LOW[M],instack[M],Stap[M],Belong[M];
 void tarjan(int i)
 {
     int j;
     DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
     instack[i]=true;
     Stap[Stop++]=i;
     for (node *e=g[i];e;e=e->next)
     {
         j=e->to;
         if (!DFN[j])
         {
             tarjan(j);
             if (LOW[j]<LOW[i])
                 LOW[i]=LOW[j];
         }
         else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
             LOW[i]=DFN[j];
     }
     if (DFN[i]==LOW[i])
     {
         do
         {
             j=Stap[--Stop];
             instack[j]=false;
             Belong[j]=Bcnt;
         }
         while (j!=i);
         Bcnt++;
     }
 }
 void solve()
 {
     int i;
     Stop=Bcnt=Dindex=0;
     memset(DFN,0,sizeof(DFN));
     for (i=0;i<N;i++)
         if (!DFN[i])
             tarjan(i);
 }
 int main()
 {
     int path[M][M],in[M],out[M],e;
     memset(path,0,sizeof(path));
     memset(in,0,sizeof(in));
     memset(out,0,sizeof(out));
     int i,r,ansin=0,ansout=0;
     cin>>N;
     for(i=0;i<N;i++)
     {
         while(cin>>r && r!=0)
         {
             r-=1;
             node *tmp= new node;
             tmp->to = r;
             tmp ->next = g[i];
             g[i]=tmp;
         }
     }
     solve();
     for(i=0;i<N;i++)
     {
         node *tmp;
         for(tmp=g[i];tmp;tmp=tmp->next)
         {
             e=tmp->to;
             if(Belong[i]!=Belong[e] && path[Belong[i]][Belong[e]]==0)
             {
                 in[Belong[e]]++;
                 out[Belong[i]]++;
                 path[Belong[i]][Belong[e]]=1;
             }
         }
     }
     for(i=0;i<Bcnt;i++)
     {
         if(in[i]==0)
             ansin++;
         if(out[i]==0)
             ansout++;
     }
     if(Bcnt==1)
         ansout=0;
     else
     ansout = ansout>ansin ? ansout:ansin;
     cout<<ansin<<endl;
     cout<<ansout<<endl;
     return 0;
 }

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