Non-Uniform Rational B-Spline ( NURBS )
"NURBS"这个字的由来
NURBS 是 Non-Uniform Rational B Spline ( 非均匀有理 B 样条曲线 ) 的缩写， NURBS 可用于呈现 3D 几何图形。
使用 NURBS 呈现 3D 几何图形的优点
NURBS 几何图形有五个重要的特质，这些特质让它成为电脑辅助建模的理想选择。
目前有许多交换 NURBS 几何图形的标准，用户可以在许多建模、渲染、动画、工程分析程序中移动宝贵的模型，而且以 NURBS 保存的几何图形在二十年后仍然可以使用。
NURBS 有精确及广为人知的特质，各主要的大学也都有教授 NURBS 几何图形数学及电脑科学的课程，这代表专业软件厂商、工程团队、工业设计公司及动画公司可以找到受过 NURBS 程序训练的程序设什师。
NURBS 可以精确地呈现标准的几何图形 ( 直线、圆、椭圆、球体、环状体 ) 及自由造型的几何图形 ( 车身、人体 )。
以 NURBS 呈现的几何图形所需的数据量远比一般的网格形式要少。
NURBS 的计算规则可以有效并精确地在电脑上执行，下面将会继续讨论。
什么是 NURBS 几何图形?
有许多方式可以回答这个问题，如果您对数学方程序有兴趣，您可以在 openNURBS 网站 ( [url]http://www.opennurbs.com/books.htm[/url] ) 找到许多与 NURBS 相关的画藉及文章，以取得更多、更详细的信息。
NURBS 曲线是由以下四项所定义：阶数、控制点、节点及估计法则。
阶数 ( Degree ) 是正整数。
您也可能会看到某些地方提及 NURBS 曲线的次数 ( Order )，一条 NURBS 曲线的次数等于 ( 阶数 + 1 ) 的正整数，所以阶数也等于 ( 次数 - 1 )。
控制点是一个点的列表，控制点的最小数目是 ( 阶数 + 1 )。
改变 NURBS 曲线形状最简单的方法之一是移动控制点，有几种移动控制点的方式，您可以使用鼠标移动控制点对曲线形状做大幅度的自由调整，也可以使用其它专门设计的微调工具。
每个控制点都带有一个数字 ( 权值 )，除了少数的特例以外，权值大多是正数。当一条曲线所有的控制点有相同的权值时 ( 通常是 1 )，称为"非有理" ( Non-Rational ) 曲线，否则称为"有理" ( Rational ) 曲线。NURBS 的 R 代表有理，意味着一条 NURBS 曲线有可能是有理的。在实际情况中，大部分的 NURBS 曲线是非有理的, 但有些 NURBS 曲线永远是有理的，圆和椭圆是最明显的例子。
节点 ( Knot ) 是一个 ( 阶数 + N - 1 ) 的数字列表，N 代表控制点数目。有时候这个列表上的数字也称为节点矢量 ( Knot Vector )，这里的矢量并不是指 3D 方向。
节点列表上的数字必须符合几个条件，确定条件是否符合的标准方式是在列表上往下时，数字必需维持不变或变大，而且数字重复的次数不可以比阶数大。例如，阶数 3 有 15 个控制点的 NURBS 曲线，列表数字为 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 是一个符合条件的节点列表。列表数字为 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 则不符合，因为此列表中有四个 2，而四比阶数大 ( 阶数为 3 )。
节点值重复的次数称为节点的重数 ( Multiplicity )，在上面例子中符合条件的节点列表中，节点值 0 的重数值为三；节点值 1 的重数值为一；节点值 2 的重数为三；节点值 7 的重数值为二；节点值 9 的重数值为三。如果节点值重复的次数和阶数一样，该节点值称为全复节点 ( Full-Multiplicity Knot )。在上面的例子中，节点值 0、2、9 有完整的重数，只出现一次的节点值称为单纯节点 ( Simple Knot )，节点值 1 和 3 为单纯节点。
如果在节点列表中是以全复节点开始，接下来是单纯节点，再以全复节点结束，而且节点值为等差，称为均匀 ( Uniform )。例如，如果阶数为 3 有 7 个控制点的 NURBS 曲线，其节点值为 0,0,0,1,2,3,4,4,4，那么该曲线有均匀的节点。如果节点值是 0,0,0,1,2,5,6,6,6 不是均匀的，称为非均匀 ( Non-Uniform )。在 NURBS 的 NU 代表“非均匀”，意味着在一条 NURBS 曲线中节点可以是非均匀的。
在节点值列表中段有重复节点值的 NURBS 曲线比较不平滑，最不平滑的情形是节点列表中段出现全复节点，代表曲线有锐角。因此，有些设计师喜欢在曲线插入或移除节点，然后调整控制点，使曲线的造型变得平滑或尖锐。因为节点数等于 ( N + 阶数 - 1 )，N 代表控制点的数量，所以插入一个节点会增加一个控制点，移除一个节点也会减少一个控制点。插入节点时可以不改变 NURBS 曲线的形状，但通常移除节点必定会改变 NURBS 曲线的形状。
控制点和节点是一对一成对的是常见的错误概念，这种情形只发生在 1 阶的 NURBS ( 多重直线 )。较高阶数的 NURBS 的每 ( 2 x 阶数 ) 个节点是一个群组，每 ( 阶数 + 1 ) 个控制点是一个群组。例如，一条 3 阶 7 个控制点的 NURBS 曲线，节点是 0,0,0,1,2,5,8,8,8，前四个控制点是对应至前六个节点；第二至第五个控制点是对应至第二至第七个节点 0,0,1,2,5,8；第三至第六个控制点是对应至第三至第八个节点 0,1,2,5,8,8；最后四个控制点是对应至最后六个节点。
某些建模软件使用较旧的 NURBS 估计演算法，该演算法需要额外的两个节点值，总数为 ( 阶数 + N + 1 ) 个节点。
输入一个数字到 NURBS 估计法则使用的数学方程序会得到一个点。
该方程序涉及阶数、控制点、节点，并含有某些 B-样条曲线基础函数 ( B-spline basis functions )。NURBS 的 BS 代表 B-样条曲线 ( B-Spline )。NURBS 的估计法则是由参数开始，您可以将估计法则视为一个黑盒子，每当这个黑盒子吃进一个参数就会产生一个点，而黑盒子如何运作是阶数、节点、控制点所控制。
概念上，节点决定 B-样条曲线的基础函数，参数值的 B-样条曲线基础函数值决定如何平均控制点及权值以产生点。您可以在许多教科书和网站找到 NURBS 的估计法则及 B-样条曲线基础函数的详细资料。
NURBS 是 Non-Uniform Rational B Spline ( 非均匀有理 B 样条曲线 ) 的缩写， NURBS 可用于呈现 3D 几何图形。
使用 NURBS 呈现 3D 几何图形的优点
NURBS 几何图形有五个重要的特质，这些特质让它成为电脑辅助建模的理想选择。
目前有许多交换 NURBS 几何图形的标准，用户可以在许多建模、渲染、动画、工程分析程序中移动宝贵的模型，而且以 NURBS 保存的几何图形在二十年后仍然可以使用。
NURBS 有精确及广为人知的特质，各主要的大学也都有教授 NURBS 几何图形数学及电脑科学的课程，这代表专业软件厂商、工程团队、工业设计公司及动画公司可以找到受过 NURBS 程序训练的程序设什师。
NURBS 可以精确地呈现标准的几何图形 ( 直线、圆、椭圆、球体、环状体 ) 及自由造型的几何图形 ( 车身、人体 )。
以 NURBS 呈现的几何图形所需的数据量远比一般的网格形式要少。
NURBS 的计算规则可以有效并精确地在电脑上执行，下面将会继续讨论。
什么是 NURBS 几何图形?
有许多方式可以回答这个问题，如果您对数学方程序有兴趣，您可以在 openNURBS 网站 ( [url]http://www.opennurbs.com/books.htm[/url] ) 找到许多与 NURBS 相关的画藉及文章，以取得更多、更详细的信息。
NURBS 曲线是由以下四项所定义：阶数、控制点、节点及估计法则。
阶数 ( Degree ) 是正整数。
您也可能会看到某些地方提及 NURBS 曲线的次数 ( Order )，一条 NURBS 曲线的次数等于 ( 阶数 + 1 ) 的正整数，所以阶数也等于 ( 次数 - 1 )。
控制点是一个点的列表，控制点的最小数目是 ( 阶数 + 1 )。
改变 NURBS 曲线形状最简单的方法之一是移动控制点，有几种移动控制点的方式，您可以使用鼠标移动控制点对曲线形状做大幅度的自由调整，也可以使用其它专门设计的微调工具。
每个控制点都带有一个数字 ( 权值 )，除了少数的特例以外，权值大多是正数。当一条曲线所有的控制点有相同的权值时 ( 通常是 1 )，称为"非有理" ( Non-Rational ) 曲线，否则称为"有理" ( Rational ) 曲线。NURBS 的 R 代表有理，意味着一条 NURBS 曲线有可能是有理的。在实际情况中，大部分的 NURBS 曲线是非有理的, 但有些 NURBS 曲线永远是有理的，圆和椭圆是最明显的例子。
节点 ( Knot ) 是一个 ( 阶数 + N - 1 ) 的数字列表，N 代表控制点数目。有时候这个列表上的数字也称为节点矢量 ( Knot Vector )，这里的矢量并不是指 3D 方向。
节点列表上的数字必须符合几个条件，确定条件是否符合的标准方式是在列表上往下时，数字必需维持不变或变大，而且数字重复的次数不可以比阶数大。例如，阶数 3 有 15 个控制点的 NURBS 曲线，列表数字为 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 是一个符合条件的节点列表。列表数字为 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 则不符合，因为此列表中有四个 2，而四比阶数大 ( 阶数为 3 )。
节点值重复的次数称为节点的重数 ( Multiplicity )，在上面例子中符合条件的节点列表中，节点值 0 的重数值为三；节点值 1 的重数值为一；节点值 2 的重数为三；节点值 7 的重数值为二；节点值 9 的重数值为三。如果节点值重复的次数和阶数一样，该节点值称为全复节点 ( Full-Multiplicity Knot )。在上面的例子中，节点值 0、2、9 有完整的重数，只出现一次的节点值称为单纯节点 ( Simple Knot )，节点值 1 和 3 为单纯节点。
如果在节点列表中是以全复节点开始，接下来是单纯节点，再以全复节点结束，而且节点值为等差，称为均匀 ( Uniform )。例如，如果阶数为 3 有 7 个控制点的 NURBS 曲线，其节点值为 0,0,0,1,2,3,4,4,4，那么该曲线有均匀的节点。如果节点值是 0,0,0,1,2,5,6,6,6 不是均匀的，称为非均匀 ( Non-Uniform )。在 NURBS 的 NU 代表“非均匀”，意味着在一条 NURBS 曲线中节点可以是非均匀的。
在节点值列表中段有重复节点值的 NURBS 曲线比较不平滑，最不平滑的情形是节点列表中段出现全复节点，代表曲线有锐角。因此，有些设计师喜欢在曲线插入或移除节点，然后调整控制点，使曲线的造型变得平滑或尖锐。因为节点数等于 ( N + 阶数 - 1 )，N 代表控制点的数量，所以插入一个节点会增加一个控制点，移除一个节点也会减少一个控制点。插入节点时可以不改变 NURBS 曲线的形状，但通常移除节点必定会改变 NURBS 曲线的形状。
控制点和节点是一对一成对的是常见的错误概念，这种情形只发生在 1 阶的 NURBS ( 多重直线 )。较高阶数的 NURBS 的每 ( 2 x 阶数 ) 个节点是一个群组，每 ( 阶数 + 1 ) 个控制点是一个群组。例如，一条 3 阶 7 个控制点的 NURBS 曲线，节点是 0,0,0,1,2,5,8,8,8，前四个控制点是对应至前六个节点；第二至第五个控制点是对应至第二至第七个节点 0,0,1,2,5,8；第三至第六个控制点是对应至第三至第八个节点 0,1,2,5,8,8；最后四个控制点是对应至最后六个节点。
某些建模软件使用较旧的 NURBS 估计演算法，该演算法需要额外的两个节点值，总数为 ( 阶数 + N + 1 ) 个节点。
输入一个数字到 NURBS 估计法则使用的数学方程序会得到一个点。
该方程序涉及阶数、控制点、节点，并含有某些 B-样条曲线基础函数 ( B-spline basis functions )。NURBS 的 BS 代表 B-样条曲线 ( B-Spline )。NURBS 的估计法则是由参数开始，您可以将估计法则视为一个黑盒子，每当这个黑盒子吃进一个参数就会产生一个点，而黑盒子如何运作是阶数、节点、控制点所控制。
概念上，节点决定 B-样条曲线的基础函数，参数值的 B-样条曲线基础函数值决定如何平均控制点及权值以产生点。您可以在许多教科书和网站找到 NURBS 的估计法则及 B-样条曲线基础函数的详细资料。