bzoj1026: [SCOI2009]windy数-数位DP

问题描述

windy定义了一种windy数。不含前导零且相邻两个数字之差至少为2的正整数被称为windy数。 windy想知道，在A和B之间，包括A和B，总共有多少个windy数？

数位DP

分成两步：求总共的DP和统计答案

DP：

dp[i][j]表示i位数字，最高位为j的windy数的个数

dp[i][j]=sum(dp[i-1][k]) |j-k|>=2

边界dp[1][j]=1  0<=j<=9

统计答案的时候用前缀的思想， ANS=solve(b)-solve(a-1)

solve(x)表示1..x-1中windy数的个数

为什么是x-1呢？ 看下面统计的过程

统计答案的时候分成三部分：

  比如x=ABCDEFG

设x的位数为len

  第一部分直接累加 1..A-1开头的所有答案（A表示最高位的数字）-->长度一定为len

  第二部分从B开始，从高位到低位（或者从低位到高位）统计长度为1..len-1的答案

  注意以上两种情况首位都不能为0，但是可以取1..9的所有数

  第三部分就是统计以A开头的答案，这时一定要从len-1..1倒着统计，表示前面的数字已经确定是x的前面那几位数字了。枚举当前第i位的数字为0..dight[i]-1，如果满足条件就累加；再考虑dight[i]是否可以计入，如果满足和dight[i+1]的差>=2那么继续统计，下一步统计i-1的时候统计的就是第i位为dight[i]的结果，但是如果不满足，那么x就不是windy数，直接退出，后面也不会有答案。只有dight[i]决定是否继续统计，因为后一位统计的是第i位为dight[i]的答案。

至于为什么是x-1，在统计的时候最后如果x是windy数，也不会加1，最多只统计了x-1，为了避免最后在solve中添加判断，就直接在计算的时候+1.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
long long dp[12][11];
long long a,b;
int len;
int dight[12];
void pre()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for (int i=0;i<=9;i++)
        dp[1][i]=1;
    for (int i=2;i<=10;i++)
        for (int j=0;j<=9;j++)
          for (int k=0;k<=9;k++)
    {
        if (abs(j-k)>=2)
            dp[i][j]+=dp[i-1][k];
    }
}
long long solve(long long x)
{
    long long ans=0;
    if (x==0) return 0;
    memset(dight,0,sizeof(dight));
    len=0;
    while (x>0)
    {
        dight[++len]=x % 10;
        x/=10;
    }
       for (int i=1;i<=dight[len]-1;i++)
        ans+=dp[len][i];
    for (int i=len-1;i>0;i--)
        for (int j=1;j<=9;j++)
            ans+=dp[i][j];
    for (int i=len-1;i>0;i--)
    {
        for (int j=0;j<=dight[i]-1;j++)
            if (abs(dight[i+1]-j)>=2) ans+=dp[i][j];
        if (abs(dight[i+1]-dight[i])<2) break;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld", &a, &b);
    pre();
    printf("%lld\n", solve(b+1)-solve(a));
}

前面的数字已经确定是x的前面那几位数字了。枚举当前第i位的数字为0..dight[i]-1，如果满足条件就累加；再考虑dight[i]是否可以计入，如果满足和dight[i+1]的差>=2那么继续统计，下一步统计i-1的时候统计的就是第i位为dight[i]的结果，但是如果不满足，那么x就不是windy数，直接退出，后面也不会有答案。

至于为什么是x-1，在统计的时候最后如果x是windy数，也不会加1，最多只统计了x-1，为了避免最后在solve中添加判断，就直接在计算的时候+1.