分类模型的性能评估——以SAS Logistic回归为例(2): ROC和AUC
ROC
上回我们提到，ROC曲线就是不同的阈值下，以下两个变量的组合（如果对Sensitivity和Specificity两个术语没有概念，不妨返回，《分类模型的性能评估——以SAS Logistic回归为例(1): 混淆矩阵》，强烈建议读者对着看）：
Sensitivity（覆盖率，True Positive Rate）
1-Specificity (Specificity, 负例的覆盖率，True Negative Rate)
二话不说，先把它画出来（以下脚本的主体是标红部分，数据集valid_roc，还是出自上面提到的那篇）：
axis order=(0 to 1 by .1) label=none length=4in;
symbol i=join v=none c=black;
symbol2 i=join v=none c=black;
proc gplot data = valid_roc;
plot _SENSIT_*_1MSPEC_ _1MSPEC_*_1MSPEC_
/ overlay vaxis=axis haxis=axis;
run; quit;
上图那条曲线就是ROC曲线，横轴是1-Specificity，纵轴是Sensitivity。以前提到过，随着阈值的减小（更多的客户就会被归为正例），Sensitivity和1-Specificity也相应增加（也即Specificity相应减少），所以ROC呈递增态势（至于ROC曲线凹向原点而非凸向原点，不知道有无直观的解释，不提）。那条45度线是作为参照（baseline model）出现的，就是说，ROC的好坏，乃是跟45度线相比的，怎么讲？
回到以前，我们分析valid数据，知道有36.5%的bad客户（Actual Positive ）和63.5%的good客户(Actual Negative)。这两个概率是根据以往的数据计算出来的，可以叫做“先验概率”( prior probability)。后来，我们用logistic回归模型，再给每个客户算了一个bad的概率，这个概率是用模型加以修正的概率，叫做“后验概率”（Posterior Probability）。
| 预测 | ||||
| 1 | 0 | |||
| 实 | 1 | d, True Positive | c, False Negative | c+d, Actual Positive |
| 际 | 0 | b, False Positive | a, True Negative | a+b, Actual Negative |
| b+d, Predicted Positive | a+c, Predicted Negative |
如果不用模型，我们就根据原始数据的分布来指派，随机地把客户归为某个类别，那么，你得到的True Positive对False Positive之比，应该等于Actual Positive对Actual Negative之比（你做得跟样本分布一样好）——即，d/b=(c+d)/(a+b)，可以有(d/c+d)/(b/a+b)=1，而这正好是Sensitivity/(1-Specificity)。在不使用模型的情况下，Sensitivity和1-Specificity之比恒等于1，这就是45度线的来历。一个模型要有所提升，首先就应该比这个baseline表现要好。ROC曲线就是来评估模型比baseline好坏的一个著名图例。这个可能不够直观，但可以想想线性回归的baseline model：
如果不用模型，对因变量的最好估计就是样本的均值（上图水平红线）。绿线是回归线（模型），回归线与水平线之间的偏离，称作Explained Variability， 就是由模型解释了的变动，这个变动（在方差分析里，又称作model sum of squares, SSM）越大，模型表现就越好了（决定系数R-square标准）。同样的类比，ROC曲线与45度线偏离越大，模型的效果就越好。最好好到什么程度呢？
在最好的情况下，Sensitivity为1（正确预测到的正例就刚好等于实际的正例总数），同时Specificity为1（正确预测到的负例个数就刚好等于实际的负例数），在上图中，就是左上方的点(0,1)。因此，ROC曲线越往左上方靠拢，Sensitivity和Specificity就越大，模型的预测效果就越好。同样的思路，你还可以解释为什么ROC曲线经过点(0,0)和(1.1)，不提。
AUC, Area Under the ROC Curve
ROC曲线是根据与45度线的偏离来判断模型好坏。图示的好处是直观，不足就是不够精确。到底好在哪里，好了多少？这就要涉及另一个术语，AUC(Area Under the ROC Curve，ROC曲线下的面积)，不过也不是新东西，只是ROC的一个派生而已。
回到先前那张ROC曲线图。45度线下的面积是0.5，ROC曲线与它偏离越大，ROC曲线就越向左上方靠拢，它下面的面积(AUC)也就应该越大。我们就可以根据AUC的值与0.5相比，来评估一个分类模型的预测效果。
SAS的Logistic回归能够后直接生成AUC值。跑完上面的模型，你可以在结果报告的Association Statistics找到一个叫c的指标，它就是AUC（本例中，c=AUC=0.803，45度线的c=0.5）。
/*注：以上提到的c不是AUC里面那个’C’。这个c是一个叫Wilcoxon-Mann-Whitney 检验的统计量。这个说来话长，不过这个c却等价于ROC曲线下的面积（AUC）。*/
ROC、AUC：SAS9.2一步到位
SAS9.2有个非常好的新功能，叫ODS Statistical Graphics，有兴趣可以去它主页看看。在SAS9.2平台提交以下代码，Logistic回归参数估计和ROC曲线、AUC值等结果就能一起出来（有了上面的铺垫，就不惧这个黑箱了）：
ods graphics on;
proc logistic data=train plots(only)=roc;
model good_bad=checking history duration savings property;
run;
ods graphics off;
这个ROC图貌似还漂亮些，眼神好能看见标出来的AUC是0.8029。 最后提一句，ROC全称是Receiver Operating Characteristic Curve，中文叫“接受者操作特性曲线”，江湖黑话了（有朋友能不能出来解释一下，谁是Receiver，为什么Operating，何谓Characteristic——这个看着好像是Sensitivity和Specificity），不过并不妨碍我们使用ROC作为模型评估的工具。
下期预告：Lift和Gain
不多说，只提一句，跟ROC类似，Lift（提升）和Gain（增益）也一样能简单地从以前的Confusion Matrix以及Sensitivity、Specificity等信息中推导而来，也有跟一个baseline model的比较，然后也是很容易画出来，很容易解释。
参考资料
- Mithat Gonen. 2007. Analyzing Receiver Operating Characteristic Curves with SAS. Cary, NC: SAS Institute Inc.
- Mike Patetta. 2008. Categorical Data Analysis Using Logistic Regression Course Notes. Cary, NC: SAS Institute Inc.
- Dan Kelly, etc. 2007. Predictive Modeling Using Logistic Regression Course Notes. Cary, NC: SAS Institute Inc.
- Receiver operating characteristic, seehttp://en.wikipedia.org/wiki/Receiver_operating_characteristic
- The magnificent ROC, seehttp://www.anaesthetist.com/mnm/stats/roc/Findex.htm