博弈的三个巨人 巴什博奕 威佐夫博奕 尼姆博奕

博客背景：在最早接触博弈的是培训课和学长来博弈，是巴什博弈，呵呵，感觉挺有趣的，以后就找个朋友耍他或者她，嘿嘿，AC之余还可以把妹，何乐而不为呢？凭什么咱们就得一直苦逼呢？嘿嘿~~闲话休提，进入正题

 

 

博客正容：【一】（先来苦涩的理论）

（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n 个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，
规定每次至少取一个，最多取m 个。最后取光者得胜。
显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m 个，所以，无论先取者拿走多少个，
后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=
（m+1）r+s，（r 为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s 个物品，如果后取者拿走k（≤m)
个，那么先取者再拿走m+1k
个，结果剩下（m+1）（r1）
个，以后保持这样的取法，那么
先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，
谁能报到100 者胜。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同
时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品
的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。
前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、
（12，20）。
可以看出,a0=b0=0,ak 是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak + k，奇异局势有如下
三条性质：
1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak 是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak1
，而bk= ak + k > ak1
+ k1
=
bk1
> ak1
。所以性质1。成立。
2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇
异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不
变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
3、采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是（a,b），若b = a，则同时从两堆中取走a 个物体，就变为了奇异局
势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b bk
个物体，即变为奇异局势；如果a = ak ，b <
bk ,则同时从两堆中拿走ak ab
ak
个物体,变为奇异局势（ ab ak
, ab ak+
b ak）；
如果a
> ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a ak
即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种
情况，第一种，a=aj （j < k）,从第二堆里面拿走b bj
即可；第二种，a=bj （j < k）,从第
二堆里面拿走b aj
即可。
从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反
之，则后拿者取胜。
那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：
ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数）

奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...,因此,由ak，bk 组成的矩形近似为
黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√51）/
2，可以先求出j=[a（√51）/
2]，若a=[j（1+√5）/2]，
那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不
是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。
（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多
的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先
（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，
n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，
3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。
计算机算法里面有一种叫做按位模2 加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这
种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2 加的结果：
1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 （+）
———————
0 =二进制00 （注意不进位）
对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。
任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。
如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设a < b< c,
我们只要将c 变为a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)
（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从c 中减去c（
a（+）b）即可。
例1：（14，21，39），14（+）21=27，3927=
12，所以从39 中拿走12 个物体即可达到
奇异局势（14，21，27）。
例2：（55，81，121），55（+）81=102，121102=
19，所以从121 中拿走19 个物品就
形成了奇异局势（55，81，102）。
例3：（29，45，58），29（+）45=48，5848=
10，从58 中拿走10 个，变为（29，45，
48）。
例4：我们来实际进行一盘比赛看看：
甲:(7,8,9)>(
1,8,9)奇异局势
乙:(1,8,9)>(
1,8,4)
甲:(1,8,4)>(
1,5,4)奇异局势
乙:(1,5,4)>(
1,4,4)
甲:(1,4,4)>(
0,4,4)奇异局势
乙:(0,4,4)>(
0,4,2)
甲:(0.4,2)>(
0,2,2)奇异局势
乙:(0,2,2)>(
0,2,1)
甲:(0,2,1)>(
0,1,1)奇异局势
乙:(0,1,1)>(
0,1,0)
甲:(0,1,0)>(
0,0,0)奇异局势
甲胜。

对于本次普及组“取石子游戏”来说，
19 010011
7 000111
5 000101
3 000011
010010 (18)10
50－18＝32
所以第1 次只能在第5 堆石子中取32 粒，使得取出32 粒后为奇异局势，即异或运算结
果为0。

 

 

 

 

总结：

【一】巴什博弈

 对象：一堆石子（可延伸

 重要公式：N=(M+1)*r+s

 S不为0的话，先手必赢

思维拓展（先手必赢）：较为简单，就是去掉一堆石子N中（比最高可取的数目M再多1的倍数）的数目的余数S， 

让对方每次只能最多拿掉M个石子，但是这个回合中先手就可以能把剩下的（这个回合的）拿去了。简单吧~~嘻嘻

                         

【二】威佐夫博弈：

  对象：2堆石子（可延伸，以下不再赘述）

  先手必赢条件：先手没有碰到奇异局势

  思维拓展：其实上面理论说的真的很苦涩，但是再经过我这张强大的图片（当然是来自网上的啦~~呵呵·~本人实在很菜）最上面会好理解很多。

 每碰到一个非奇异局势，都可改为一个奇异局势。

 这个图片强大的地方如下（在求找一个非奇异局势改为奇异局势的步数的时候）：

【第一种情况】找对角线：首先就是在对角线上可以找出看看有没有相应的奇异局势，假设非奇异局势（a，b）

  当然前提是a>px，b>py，那么a-b的话就是可以找出在该对角线上的一个奇异局势，比如（a，b）：=（8,12）

（px，py）：=（4,7）；但是有人问，k值还不清楚啊。但是请看，对角线上的K值都是相等的。

 

【第二种情况】当a=px，或者a=py，或者b=px，或者b=py的话，那么这样的话又有一种情况了。（注意，一个非奇异局势最多

 有2种奇异局势的修改方法。）那么此时，只要把当前的非奇异局势改为满足这个条件（当a=px，或者a=py，

 或     者b=px， 或者b=py的话，）就可以变成奇异局势。比如，上图中的（a，b）：=（5,11）

 那么在遍历前面的奇异局势是碰到（px，py）：=（3,5）；那么就可以直接变成（px，py）：=（3,5）；也就是拿掉第二堆石子中的8个，即可先手必胜

而第一种情况的 话就是同时拿走2堆K=a-b个，则可先手必胜。

 简单吧~~嘻嘻

                           

 

【3】尼姆博弈：

对象：多堆石子

最基础的位操作运算：任意一个数&1等于它本身；任意一个数^0（异或）等于它本身。

思维推展：一般会求先手赢的方案数，这时候就是要求出（假设   总异或数t,）如果a【i】^t<a【i】的话，那么就有一次方案数。（下面详细解释这句话，标记为A）

题目：给出n堆石头的数目，若先手赢问第一步可行的方案数是多少？
以（7，8，9）为例:
7----       0111
8----       1000
9----       1001
         ————

              0110（6）结果不为0，先手赢
第一步方案数为1. 

 

总结：t不为0的话说明先手必赢，因为不是奇异局势。对于A是是怎么理解呢？因为总异或数t最高位不为0的位置上对应有几个1就有几种方案数。

而A，通过异或就可以找出有多少个这样的1.因为t高位为1的左边全是0，所以a【i】在t最左为0的位置上的数与t异或是本身（下图）。而在t最高位为1和接下来的位置上的数异或上

a【i】，这个数如果在t最高位1上面有1的话，异或之后的结果肯定是小于自己的。
结果方案数1就是这样来的。

 

求方案数：

#include <stdio.h>
int a[105];
int main()
{
    int i, t, cnt, m;
   while( scanf("%d",&m) !=EOF && m)
    {
       t=0; cnt=0;
        for(i=t=n=0; i<m; i++ )
        {
             scanf("%d", &a[i]);
             t = (t^a[i]);
        }

        for(i=0; i<m; i++ )
            if( (a[i]^t) < a[i] )
                cnt++;

        printf("%d\n",cnt);
      }

}