哈夫曼树与哈夫曼编码

一、哈夫曼树与哈夫曼编码的概念

哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树，也称为最优二叉树。以下图为例进行说明：

它们的带权路径长度分别为：

图a：WPL=5*2+7*2+2*2+13*2=54

图b：WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48

由此说明哈夫曼树是带树路径最短的树，也称最优二叉树。

因此，我们可以利用哈夫曼树对数据进行压缩，哈夫曼编码就是哈替曼的一个应用。利用哈夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为哈夫曼编码，树中从根节点到每个叶子节点都有一条路径，对路径上各分支用数字“0”、“1”进行编码（一般约定左子树为0，右子树为1），取每条路径上的“0”、“1”组成的序列即为对应叶子节点对应的编码，即哈夫曼编码！

二、哈夫曼树的构造步骤

1、初始化： 根据给定的n个权值{w1,w2,…wn}构成n棵二叉树的集合F={T1,T2,..,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个带权wi的根结点，左右子树均空；
2、 找最小树：在F中选择两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，且至新的二叉树的根结点的权值为其左右子树上根结点的权值之和；
3、删除与加入：在F中删除这两棵树，并将新的二叉树加入F中；
4、判断：重复前两步（2和3），直到F中只含有一棵树为止。

举个粟子说明，字母ABCD出现的概率依次为5、7、2和13，代表其权重。以下图示图解过程：

三、哈夫曼编码的生成

以上图为例，对于每个节点，取左子树编码为“0”，右子树编码为“1”，则可得到下图：

即：A（111），B（10），C（110），D（0）。这样就可以使最终的编码长度达到最短进而达到压缩的目的，因为出现次数最多的字母的编码长度最短，出现次数最少的字母编码较长。

四、哈夫曼编码的实现

最后放上一个C语言版本的较为经典的哈夫曼编码的实现的源代码：

C语言代码实现：

/*-------------------------------------------------------------------------
 * Name:   哈夫曼编码源代码。
 * Date:   2011.04.16
 * Author: Jeffrey Hill+Jezze(解码部分)
 * 在 Win-TC 下测试通过
 * 实现过程：着先通过 HuffmanTree() 函数构造哈夫曼树，然后在主函数 main()中
 *           自底向上开始(也就是从数组序号为零的结点开始)向上层层判断，若在
 *           父结点左侧，则置码为 0,若在右侧,则置码为 1。最后输出生成的编码。
 *------------------------------------------------------------------------*/
#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
 
#define MAXBIT      100
#define MAXVALUE  10000
#define MAXLEAF     30
#define MAXNODE    MAXLEAF*2 -1
 
typedef struct 
{
    int bit[MAXBIT];
    int start;
} HCodeType;        /* 编码结构体 */
typedef struct
{
    int weight;
    int parent;
    int lchild;
    int rchild;
    int value;
} HNodeType;        /* 结点结构体 */
 
/* 构造一颗哈夫曼树 */
void HuffmanTree (HNodeType HuffNode[MAXNODE],  int n)
{ 
    /* i、j： 循环变量，m1、m2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点的权值，
        x1、x2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点在数组中的序号。*/
    int i, j, m1, m2, x1, x2;
    /* 初始化存放哈夫曼树数组 HuffNode[] 中的结点 */
    for (i=0; i<2*n-1; i++)
    {
        HuffNode[i].weight = 0;//权值 
        HuffNode[i].parent =-1;
        HuffNode[i].lchild =-1;
        HuffNode[i].rchild =-1;
        HuffNode[i].value=i; //实际值，可根据情况替换为字母  
    } /* end for */
 
    /* 输入 n 个叶子结点的权值 */
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        printf ("Please input weight of leaf node %d: \n", i);
        scanf ("%d", &HuffNode[i].weight);
    } /* end for */
 
    /* 循环构造 Huffman 树 */
    for (i=0; i<n-1; i++)
    {
        m1=m2=MAXVALUE;     /* m1、m2中存放两个无父结点且结点权值最小的两个结点 */
        x1=x2=0;
        /* 找出所有结点中权值最小、无父结点的两个结点，并合并之为一颗二叉树 */
        for (j=0; j<n+i; j++)
        {
            if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1)
            {
                m2=m1; 
                x2=x1; 
                m1=HuffNode[j].weight;
                x1=j;
            }
            else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1)
            {
                m2=HuffNode[j].weight;
                x2=j;
            }
        } /* end for */
            /* 设置找到的两个子结点 x1、x2 的父结点信息 */
        HuffNode[x1].parent  = n+i;
        HuffNode[x2].parent  = n+i;
        HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight;
        HuffNode[n+i].lchild = x1;
        HuffNode[n+i].rchild = x2;
 
        printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1, HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight);  /* 用于测试 */
        printf ("\n");
    } /* end for */
  /*  for(i=0;i<n+2;i++)
    {
        printf(" Parents:%d,lchild:%d,rchild:%d,value:%d,weight:%d\n",HuffNode[i].parent,HuffNode[i].lchild,HuffNode[i].rchild,HuffNode[i].value,HuffNode[i].weight);
                  }*///测试 
} /* end HuffmanTree */
 
//解码 
void decodeing(char string[],HNodeType Buf[],int Num)
{
  int i,tmp=0,code[1024];
  int m=2*Num-1;
  char *nump;
  char num[1024];
  for(i=0;i<strlen(string);i++)
  {
   if(string[i]=='0')
  num[i]=0;        
  else
  num[i]=1;                    
  } 
  i=0;
  nump=&num[0];
  
 while(nump<(&num[strlen(string)]))
 {tmp=m-1;
  while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1))
  {
  
   if(*nump==0)
   {
     tmp=Buf[tmp].lchild ;          
   } 
   else tmp=Buf[tmp].rchild;
   nump++;
        
  } 
  
  printf("%d",Buf[tmp].value);                                  
 }
 
  
}
 
 
int main(void)
{
    
    HNodeType HuffNode[MAXNODE];            /* 定义一个结点结构体数组 */
    HCodeType HuffCode[MAXLEAF],  cd;       /* 定义一个编码结构体数组， 同时定义一个临时变量来存放求解编码时的信息 */
    int i, j, c, p, n;
    char pp[100];
    printf ("Please input n:\n");
    scanf ("%d", &n);
    HuffmanTree (HuffNode, n);
   
    
    for (i=0; i < n; i++)
    {
        cd.start = n-1;
        c = i;
        p = HuffNode[c].parent;
        while (p != -1)   /* 父结点存在 */
        {
            if (HuffNode[p].lchild == c)
                cd.bit[cd.start] = 0;
            else
                cd.bit[cd.start] = 1;
            cd.start--;        /* 求编码的低一位 */
            c=p;                    
            p=HuffNode[c].parent;    /* 设置下一循环条件 */
        } /* end while */
        
        /* 保存求出的每个叶结点的哈夫曼编码和编码的起始位 */
        for (j=cd.start+1; j<n; j++)
        { HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];}
        HuffCode[i].start = cd.start;
    } /* end for */
    
    /* 输出已保存好的所有存在编码的哈夫曼编码 */
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        printf ("%d 's Huffman code is: ", i);
        for (j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++)
        {
            printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);
        }
        printf(" start:%d",HuffCode[i].start);
       
        printf ("\n");
        
    }
/*    for(i=0;i<n;i++){
    for(j=0;j<n;j++)
        {
             printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);           
        }
        printf("\n");
        }*/
    printf("Decoding?Please Enter code:\n");
    scanf("%s",&pp);
decodeing(pp,HuffNode,n);
    getch();
    return 0;
}